Bonsoir,
Je sèche sur un DM portant sur les équa diffs. Voici le sujet :

On a l'équation :
(E) : Y''(x) - 4Y'(x) + 13Y(x) = cos(3x)exp(2x)

1. Donner l'expression des solutions réelles de l'équation différentielle homogène associée :
(E0) : Y''(x) - 4Y'(x) + 13Y(x) = 0

2. Trouver une solution particulière de l'équation suivante :
Y''(x) - 4Y'(x) + 13Y(x) = exp((2+3i)x)

3. Donner la solution générale des solutions réelles de (E).

Donc j'ai réussi la 1. et la 2. (enfin j'espère, ça je verrai bien), mais j'arrive pas à faire le lien avec la question 3. Il est clair que dans la 1 j'ai calculé la LSSM de (E), donc il me reste en théorie que la LASM à trouver. On calcule une LASM dans la 2., et je me doute qu'il faut recouper cette équation avec (E), mais j'y arrive pas.

J'ai essayé de changer le cos(3x)exp(2x) de (E) pour essayer d'obtenir le exp((2+3i)x) de l'équation de la question 2 mais pas moyen.
J'ai remplacé cos3x par (exp(3ix) + exp(-3ix))/2, que j'ai ensuite multiplié par exp(2x), mais au final j'obtiens (exp((2+3i)x) + exp((2-3i)x))/2. Ce qui me gène c'est d'avoir exp((2-3i)x) au lieu de exp((2+3i)x) ce qui m'aurait permis de virer les 2 et avoir ce qu'il me faut.

Donc là je vois pas, z'auriez pas un indice pour m'aider à lier (E) à l'équation de la question 2. ?

Merci.

cos(3x) c'est la partie réelle de exp(3ix).

Merci beaucoup

Ah mais alors, faut que je dise que cos(3x)exp(2x) = Re (exp((2+3i)x)) ? Donc que j'applique Re() sur la solution particulière que j'ai trouvé (qui comporte des i) ?

Voilà.
C'est comme ça qu'il faudra faire, en général, quand y'aura du cos ou du sin dans le second membre. Mais là le prof a été gentil, il a décomposé ça en 3 étapes.

Ok, ça m'étonne un peu qu'on puisse appliquer comme ça Re() sur la solution particulière, mais bon... ^^
Bon bah je m'y met, merci