Bonjour mon prof de maths m'a demandé de démontrer 3 théorèmes sur les nombres complexes pour demain mais je suis en galère

Pour tout nombres complexes z et z'
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il y a z+z'= z + z'

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zz'= z x z'

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z = z

J'espère que c'est assez claire, je comprend les deux premiers théorèmes mais je sais pas comment démontrer que c'est vrai par contre le troisième je comprend pas

En espérant une aide rapide merci

z=a+bi, a et b réels
conjugué de z= a-bi
conjugué du conjugué de z = a-(-bi) = a+bi = z

en fait c'est pas clair
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z+z' = z + z'
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zz' = z x z'

=
z = z

je sais pas si c'est mieux mais j'arrive pas à bien représenter les barres haut-dessus

Suffit d'appliquer la définition du conjugué d'un complexe.

Pour le deuxième:

z=a+ib
z'=a'ib'

zz'=(a+ib)(a'+ib')
=aa'+iab'+iba'-bb'
=(aa'-bb')+i(ab'+ba')

par défition du nombre conjugué, zz'(barre)=(aa'-bb')-i(ab'+ba')

Or tu as:

z(barre)*z'(barre)= (a-ib)*(a'-ib')
=aa'-iab'-iba'+i²bb'
=(aa'-bb')-i(ab'+ba')
donc z(barre)*z'(barre)= zz'(barre)

merci de vos réponses je suis en train de regarder pour essayer de bien comprendre
pour le premier et le troisième vous n'avez pas une démonstration s'il vous plait?

Pour la première c'est presque la même chose:

z=a+ib
z'=a'+ib'

z+z'=a+ib+a'+ib'
=(a+a')+i(b+b')

par définition du nombre conjugué tu as donc :
z+z'(barre)=(a+a')-i(b+b')

Or z(barre)+z'(barre)= a-ib+a'-ib' = (a+a')-i(b+b')

Donc on a bien z+z'(barre)=z(barre)+z'(barre)

Pour la dernière il n'y a pas vraiment de démonstration

z=a+ib donc z(barre)=a-ib

et le conjugué de a-ib et a+ib donc a bien conjugué du conjugué de z =a+ib=z

ok etmayrde je te remercie c'est sympa