Bonjour !

Décidément, j'aurais encore besoin de vos lumières...
J'ai un exercice à traiter, certaines questions sont faciles, et d'autres... un peu moins.
Je vous donne l'énoncé, ce que j'ai fait, et pourriez-vous m'aider sur les questions où je bloque ?
Et en même temps me dire si ce que j'ai fait est bon... !
C'est un peu long...

EXERCICE :

Question 1 : Vérifier que le logarithme ln : R+* --> R est un isomorphisme de groupes.

R+* muni de la multiplication est un groupe.
R muni de l'addition est un groupe.
Soient x, y € R+*.
ln(x*y) = ln(x) + ln(y) donc ln est un homomorphisme de R+* dans R.
De plus, ln est bijective, donc le logarithme est bien un isomorphisme de groupes.

Question 2 : L'application R --> C* définie par r --> e^(ir) est-elle un homomorphisme de groupes (le 1er additif et le 2eme multiplicatif) ? Si oui, quels sont son image et son noyau ?

R muni de l'addition est un groupe.
C* muni de la multiplication est un groupe.
Soient r1, r2 € R.
e^( i(r1+r2) ) = e^(ir1+ir2) = e^(ir1)*e^(ir2) donc l'application est un homomorphisme de groupes.

Soit f l'application considérée.
Image de l'application f :
f(R) = { e^(ir) ; r € R }
= { z € C* ; |z| = 1 }
L'image de l'application est donc l''ensemble des nombres complexes de module 1 (le cercle trigonométrique).

Noyau de l'application f :
L'élément neutre de (C*, *) est 1.
Donc :
Ker f = { r € R ; f(r) = 1 }
= { r € R ; e^(ir) = 1 }
= { r € R ; r=2*k*pi avec k € Z }

Question 3 : Même question avec exp : C --> C* définie par z = a + ib --> exp(z) = exp(a)*exp (ib).

C muni de l'addition est un groupe.
C* muni de la multiplication est un groupe.
Soient z1, z2 € C tels que z1 = a1+ib1 et z2 = a2+ib2.
exp(z1+z2) = exp(z1)*exp(z2) = exp(a1+ib1)*exp(a2+ib2) = [exp(a1)*exp(ib1)]*[exp(a2)*exp(ib2)]. donc l'application est bien un homomorphisme de groupes.

Soit f l'application considérée.
Image de l'application f :
f(C) = { e^a*e^(ib) ; (a,b) € R² } = C*

Noyau de l'application f :
L'élément neutre de (C*, *) est 1.
Donc :
Ker f = { (a,b) € R² ; e^a * e^(ib) = 1 }
= { (a,b) € R² ; e^(a+ib) = 1 }
= { a+ib ; a=0 et b = 2pi*k avec k € Z }

Question 4 : Montrer que le module C* --> R+*, défini par z --> |z| est un homomorphisme de groupes multiplicatifs. Déterminer son image et son noyau.

C* muni de la multiplication est un groupe.
R+* muni de la multiplication est un groupe.
Soient z1, z2 € C*.
|z1*z2| = |z1|*|z2| donc le module est bien un homomorphisme de groupes.

Image du module f :
f (C*) = { |z| ; z € C* } = R+*

Noyau du module f :
Ker f = { z € C ; |z| = 1 } = le cercle de centre 0 et de rayon 1.

Question 5 : Soit G = { (a-bba ; a, b € R, a²+b² non nul }. Montrer que G avec la multiplication des matrices est un groupe abélien isomorphe au groupe multiplicatif C*.

Ici je ne vois pas vraiment comment partir, déjà je ne vois pas ce que signifie "multiplication des matrices" étant donné que G n'est pas un espace de matrices ?
En plus, j'ai du mal à caractériser G.... et comment montrer qu'il est isomorphe à l'autre groupe ? Je sais qu'il faut montrer qu'il existe un isomorphisme entre les deux, mais comment le trouver ?

Question 6 : Soit H = { (a-bba ; a, b € R, a²+b² = 1 }. Vérifier que H = SO²(R), et que H est un sous groupe de G isomorphe au sous groupe S^1 des nombres complexes de module 1.

Idem que la question précédente : j'ai une petite idée pour dire que H = SO²(R) puisque il y a a un lien avec cos²+sin²=1 (le déterminant des matrices de rotations)...

Question 7 : Monter que { 1 , i , -1, -i } est un sous groupe de S^1. A quel sous groupe de G correspond-il ?

Soit L = { 1, i , -1 , -i } muni de la multiplication.
L est non vide.
Chaque produit de deux éléments de L reste un nombre complexe de module 1 donc L est bien un sous groupe de s^1.
Par contre là je ne comprends pas la 2eme partie de la question.

Merci de bien vouloir m'aider !

tu dois montrer pour la question 5 que l'ensemble des matrices de la forme

(a -b)
(b a)

est un groupe isomorphe à C*
bref tu dois trouver un isomorphisme qui te ramènerait
(a -b) sur a+ib
(b a)

merci pour ta réponse, mais je ne comprends pas trop en fait...
Pourquoi c'est cet ensemble de matrice ? Le déterminant fait bien a²+b², mais je ne vois pas le rapport avec a-bba ....

et puis pour l'isomorphisme je ne vois pas trop non plus...
comment une matrice peut -elle se ramener à un nombre complexe ?

Pour la question 6, c'est bien ça. SO2(R) c'est les matrices de rotation, donc y'a un isomorphisme naturel avec S^1. Tu envoies une matrice de rotation sur l'angle de la rotation. Montrer que c'est un sous-groupe de G c'est pas trop dur.

Pour la question 7 ta justification n'est pas bonne. Tu dois montrer que L est stable par produit et par passage à l'inverse. C'est évident que le produit de deux éléments de L reste dans S^1 puisque L inclus dans S^1 et S^1 est lui-même un groupe.
Pour la deuxième partie de la question il faut montrer que L est isomorphe à un sous-groupe de G à préciser.

lulu fais le produit de deux matrices de G et le produit de deux complexes de C, ne remarques tu pas quelque chose?

Il y a isomorphisme entre les matrices de similitudes directes et C, c'est même une façon de définir C.
On identifie les matrices d'homothéties avec R. On pose
(0 -1) = I et on a I² = -Id.
(1 0)

Prauron :

isomorphisme naturel ? lequel ?
j'ai compris ton morphisme par contre, les angles n'appartiennent pas à S^1...
pour la question 7 alors je dois montrer que les inverses de chaque élément sont aussi de module 1, c'est ça ?

The-mad-man :

pour deux matrices, j'ai fait le produit, mais je ne vois pas trop...
par ex,
(a1+ib1)(a2+ib2)=a1a2-b1b2 + i(a1b2+a2b1)
Dans le produit des deux matrices, je retrouve le 1er terme, mais... ??

(SO2(R),x) -------------------> (S^1,.)

(cos t -sin t) ------------> exp(it)
(sin t cos t)

Pour la question 7 tu dois montrer que le produit de deux éléments de L est dans L, et que l'inverse d'un élément de L est dans L.

Ok Prauron c'est bien un isomorphisme par contre l'espace de départ est G ?
parce que là j'ai une matrice, mais dans l'énoncé ils ne parlent pas de matrices... comment prouver que H = S0²(R) puisqu'on a juste a-bba avec a²+b²=1...

et la question 5 alors ?

de départ est H plutot *

et pour la question 5 je peux prendre par ex l'application qui à une matrice
(a b)
(-b a) associe z=a+ib ?

Pour résumer, ce que j'ai fait :

Question 5 :

en fait, G est l'ensemble des matrices
(a -b)
(b a) telles que a²+b² est non nul.
Là , il faut que je montre que G est un sous groupe ou c'est évident ?
Après, je peux prouver que G est abélien (le produit des matrices est commutatif).
Après je pose Phi : G -------> C*
(a -b)
(b a) ------------------------> z=a+ib
Il faut que je montre que Phi est un isomorphisme (ie un homomorphisme injectif et bijectif).

Question 6 :

H est idem que G sauf que a²+b²=1.
On remarque que H = SO2(R) en posant a =cos(Teta) et b=sin(Teta).
On pose Phi : H -------------> S1
(cos(Teta) -sin(Teta))
(sin(Teta) cos(Teta))--------------> e^(iTeta)
Je dois montrer que Phi est un isomorphisme , comme avant.

Question 7 :
Je montre que l'inverse d'un élement de L est dans L :
par exemple : 1/i = -i € L. Mais ça je dois le monter pr chaque élément, ou bien un seul ?
Après, par contre la 2eme partie de la question, je bloque !

Pour la question 5, montre que G est un sous-groupe de M2(R).
Par contre le fait qu'il soit abélien n'est pas évident a priori, puisque le produit matriciel n'est pas commutatif. Il suffit de vérifier que si M, N € G, alors MN = NM.

Pour la question 7 il faut le montrer pour chaque élément (en fait 2 suffisent puisque le passage à l'inverse te donne les deux autres).
L est isomorphe au sous-groupe de H constitué des matrices de rotations d'angles 0, Pi/2, Pi, 3Pi/2.

Merci pr ta réponse j'ai bien compris le coup des isomorphismes !
Par contre il me reste deux questions :
1 - Pour la dernière question , pourquoi ce sont des rotations avec ces angles là ? comment les trouves-tu ?

2- comment passer de la définition du groupe G (a-bba) aux matrices ?

merci...

1. Parce que ce sont les arguments des complexes qui composent le groupe.

2. J'ai bien compris ce qui est écrit dans la définition de G... Pour moi G c'est les matrices de similitudes directes (non nulles). D'ailleurs c'est forcément des matrices, on te dit dans l'énoncé que G est muni du produit matriciel.

ok...
1- je t'assure je n'ai pas le déclic là dessus...
est-ce que tu peux me dire ton raisonnement ?
parce qu'en fait tu dis "isomorphe", mais vers quel ensemble ?
et quelle est alors l'application associée...
je suis désolée mais là je bloque sur cette question ! dis le moi si tu en as marre je pourrais comprendre... !

2 - je ne vois tjrs pas comment on passe du "a-bba" aux matrices... à quoi sert ce fameux "a-bba" ??

1. Dans la question 6 tu as montré qu'il y a isomorphisme f entre S^1 et H = SO2(R).
L est un sous-groupe de S^1. Le sous-groupe de H que tu cherches est simplement l'image par f de L.
De façon explicite :
f(1) = matrice de rotation d'angle 0
f(i) = matrice de rotation d'angle Pi/2
f(-1) = matrice de rotation d'angle Pi
f(-i) = matrice de rotation d'angle 3Pi/2.
C'est juste la restriction de f à L.

2. Je ne comprends pas non plus ce que veux dire a-bba écrit comme ça en ligne...
(a -b) je comprends, mais pas a-bba.
(b a)

Ok alors je te résume pour voir si j'ai compris :

On a H = ensemble des matrices de la forme :
(cost -sint)
(sint cost).
On a prouvé qu'il existe une application f :
f : H ------> S1
matrice de la forme d'avant -----> e^(it).

j'ai L qui est un sous groupe de S1 (tous les élements de L sont de module 1).
Donc je dois trouver les antécédents de chaque élément de L par f, en gros les matrices telles que :
f(M1)=1
etc.

Par exemple, pour 1 :

j'ai alors e^(it)= 1 => t=0
d'où :
M = (cos0 -sin0)
(sin0 cos0)
= (1 0)
(0 1)

C'est bien ça ?

mais c'est à 2k pi près , non?