Bonjour,
Je galère à mort depuis plusieurs jours sur un exo de DM de maths, et là ça devient urgent vu que c'est pour demain...
Donc c'est les nombres complexes, et comme je bloque à la première question je peux même pas faire la suite ! Ca me gêne beaucoup dans le sens où c'est un DM par groupe de colle, donc mes deux collègues dépendent un peu de moi, sur les points de cet exo, si je rend copie blanche ils seront pénalisés aussi...

Donc voici l'énoncé :
On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, u, v). Thêta désigne un nombre réel de l'interval I = ]-pi, pi[. Pour tout thêta appartenant à I, on définit le nombre complexe : z(thêta) = (1/2)*(1+exp(ithêta))²

1. Calculer, lorsque thêta appartient à I, le module et l'argument de z(thêta).

Je met pas les autres questions, je me débrouillerai. Donc moi je suis parti en développant tout, et j'arrive à un moment à : 1/2 + cos(thêta) + isin(thêta) + cos²(thêta) + 2cos(thêta)sin(thêta) - sin²(thêta).
Alors soit je réduit ça en 1/2 + cos(thêta) + isin(thêta) + cos(2thêta) + sin(2thêta), ce qui me semble le plus probable finalement parce que je doute que les deux identités remarquables de trigo soient là par hasard, soit je passe à l'exponentielle pour les cos et sin, et après de multiples lignes de très longs calculs, j'arrive finalement à : 1/2 + exp(ithêta) + exp(-ithêta) + (exp(2ithêta) + exp(-2ithêta))/2 + 2cos(thêta)sin(thêta). Et là je suis bloqué.

Dans tous les cas les choses s'enchaînent logiquement, et semblent bonnes, sans incohérences ou truc tordu, mais c'est juste totalement inexploitable, je sais pas si ça vient de moi qui ne maitriserais pas la trigo et les exponentielles, ou si je pars sur une mauvaise piste...
Pourriez vous m'aiguiller please ?

Merci !

Factorise 1+e^(it) par e^(it/2).

As-tu vu l'astuce dite de "l'angle moitié" ? C'est très utile quand tu as une expression du type 1+exp(i*theta).
Tu factorises ton expression par exp(i*theta/2).
Tu as ainsi : z = .5 *
exp(i*theta/2)²*(exp(-i*theta/2)+exp(i*theta/2))²

= .5 * exp(i*theta)*(2cos(theta))²
= 2cos(theta)²exp(i*theta).

Tu en déduis facilement module et argument.

Donc on utilise la formule de partie entière (un peu à l'envers vu que c'est +1 au lieu de -1), mais je vois pas trop où ça doit me mener en fait, je me retrouve juste avec une expression encore plus complexe :

1/2 * (exp(ithêta/2) (exp(-ithêta/2) + exp(ithêta/2))²

J'ai essayé de passer le exp(-ithêta/2) + exp(ithêta/2) en 2cos(thêta/2), mais je me retrouve quand même bloqué même en développant après, car j'ai un exp(ithêta) devant le cos, dont je ne sais quoi faire =X

Bibi907 => Oui on l'a vu, en fait je savais pas si ça s'appliquait aussi avec +1 vu que nous on s'en est servi uniquement avec -1 ^^
Mais je vois toujours pas d'argument ni de module là =S

Ben après c'est fini. Le module c'est 2cos²(t/2) et l'argument c'est t.

Bah une fois arrivé à 2cos(theta)²exp(i*theta), tu as ton complexe sous la forme r*e^ia, où r est réel.
L'argument principal et le module en découle directement, y'a plus rien à faire

Ah oui ok, en fait à partir du moment où on a plus de i devant l'exponentielle, tout le groupe réel devant est considéré comme le module ? Ca me faisait bizarre d'avoir un truc aussi gros, avec du cosinus, alors qu'on se retrouve toujours à le décortiquer pour en extraire des modules ou arguments...
Bon bah merci beaucoup, je vais le refaire tout seul, et essayer la suite du DM, merci encore

C'est finit a partir du moment où ton complexe est sous la forme
r(cosa + isina) = r*e^(ia)

A partir du moment ou ce qui est en facteur de l'exponentielle complexe est réel non nul c'est ok. Pas important que ce soit quelque chose de simple comme 5 ou une expression plus compliquée.

Juste une dernière toute petite question, pour représenter z avec thêta=pi/6, il suffit juste que je prenne l'argument, le trace l'angle, puis je calcule le module en remplaçant thêta par pi/6 dans 2cos²(thêta/2) et je fait la mesure sur le repère ?

Oui