Bonjour à ts!

Je suis en IUT et j'aurais besoin svp d'avoir le cours en détaillé sur les points suivants:

-Formule de Taylor
-Formule de Mc Laurin
-Développement limités

Pourquoi?

Tout simplement pcq'en amphi, qlp'un a trouvé judicieux de balancer des bouts de gomme ou je ne sais quoi sur prof qui à son tour a decidé de ne pas finir cette partie du cours.

Merci de votre compréhension!

Ca va être difficile de faire un cours ici...
Tu peux toujours regarder cette page : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Taylor même si je sais que Wiki c'est pas le top...

Demande si y'a des trucs que tu comprends pas.

Merci pr ta reponse! C'est clair que j'aurais préféré que qlq'un puisse m'expliquer plus en détaille mais si il n'y a que ça ce n'est pas grave!

Et par rapport au deux autres points!? A tu ou avez vous une idée?

ok la formule de MC L. derive de celle de T. .
Mais qu'est ce que le developpement limité?

Le théorème de Taylor n'est pas compliqué.
C'est juste une formule qui permet d'approcher une fonction n fois dérivable en un point, avec des polynômes.

Donc si tu as ta fonction f qui est n fois dérivable en un point a, on peut l'approcher précisément avec un polynôme d'ordre n au voisinage du point a, grâce à la formule de Taylor.

Pour la démonstration, il faut passer par la formule de Taylor-Young avec reste intégrale, qui est, "en gros", la même formule sans approximation. A la fin de l'expression on rajoute un terme qui fait que le développement obtenu est exact. Ceci se démontre très facilement par récurrence.

La formule d'Euler-MacLaurin, je ne la connaissais pas, mais visiblement c'est la même idée. C'est une formule qui te permet de trouver une autre expression de ta fonction. Je ne sais pas trop où ça s'utilise, mais ça ne m'a pas l'air très compliqué.

Les DL sont analogues au théorème de Taylor.
Pour toute fonction continue en un point a, on peut trouver une fonction polynomiale qui approche cette fonction. On appelle ceci un développement limité.
Plus l'ordre est élevé (ie plus on utilise un DL avec un polynôme d'ordre élevé), plus l'approximation est précise.
Ensuite, on peut démontrer que si f est de classe C_n, alors le DL d'ordre n de f est égale à son développement de Taylor.

Il existe aussi des DL au voisinage de l'infini.

D'abord il faut distinguer différentes formules de Taylor.
- La formule de Taylor-Young, qui fournit un développement limité, et qui est une formule locale, c'est-à-dire que tu écris un développement de la fonction au voisinage d'un point : f(a+h) = f(a) + f'(a)h + ... + o(x^n) si f est n fois dérivable en a. Elle est valable au voisinage de a, c'est à dire quand h est petit.
Si f est n fois dérivable en a, cette formule donne un développement limité de la fonction en a.
- La formule de Taylor avec reste de Lagrange (cf Wiki) qui est une formule globale. C'est la généralisation de l'égalité des accroissement finis : f(b)-f(a) = f'(c)(b-a) si f est dérivable sur ]a,b[, continue sur [a,b] et avec c dans [a,b]
- La formule de Taylor avec reste intégral, généralisation de f(b) = f(a) + intégrale de a à b de f'(t)dt.

Taylor-MacLaurin c'est juste Taylor appliquée en 0.

Ouhaou!!! Merci pr votre soutien les gars!
Maintenant je n'ai plus qu'à bosser tt ça!

Oui, South fait bien de le préciser, l'utilité de tout ça c'est d'approcher une fonction par un polynôme, parce que les polynômes c'est plus sympa.
Et en majorant le reste, on peut majorer en valeur absolue l'erreur commise en remplaçant la fonction par le polynôme. Evidemment plus le développement est poussé, plus cette erreur est faible.

Oui c'est ce que j'avais cru comprendre