Salut,

Je suis bloqué sur mon exo de maths sur la continuité (exercice 2, me manque que la question 4!, je poste les autres réponses!))

http://s2.noelshack.com/uploads/images/17337429323676_numrisation0009.jpg

1) On a : fa (x) = - x + a si x Є [0 ; 1[ et fa (x) = a² + 2 – a si x Є [1 ; 2].
Par conséquent, f (x) existe si et seulement si x Є [0 ; 1[ U ]1 ; 2], d’où Df = [0 ; 1[ U ]1 ; 2].

2) a) fa (x) est continue sur [0 ; 2] si et seulement si la fonction x → - x + a et la fonction x → ax² + 2 – a sont toutes deux continues en 1.
D’où lim (ax² + 2 – a) = lim (-x + a), soit a (1)² + 2 – a = - 1 + a, soit 2 = - 1 + a, donc a = 3.
x → 1 x → 1
En conclusion, pour que f soit continue sur [0 ; 2], il faut que a = 3.

b) Pour a = 3, noté a0, on a fa0 (x) = {█(- x + 3 si x Є [0 ; 1[@3x² - 1 si x Є [1 ; 2])┤

La fonction x → - x + 3 est strictement décroissante sur R et donc sur [0 ; 1[.
Soit g la fonction définie par g (x) = 3x² - 1. Cette fonction est une fonction polynomiale dont le sens de variation est défini par sa dérivée g’ (x).
On a : g’ (x) = 6x. Lorsque x > 0, g’ (x) > 0. Par conséquent, sur l’intervalle [1 ; 2], la fonction g (x) est strictement croissante.
En conclusion, la fonction fa0 est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 1[ et est strictement croissante sur l’intervalle [1 ; 2].

c) Sur l’intervalle [1 ; 2], fa (x) = g (x) = 3x² - 1.
La fonction g est continue sur l’intervalle [1 ; 2] comme fonction polynomiale. De plus, comme nous l’avons montré à la question 1) b), elle est strictement croissante sur l’intervalle [1 ; 2].
On a : g (1) = 3 (1)² - 1 = 2 et g (2) = 3 (2)² - 1 = 3 x 4 – 1 = 11, donc 5 Є ] g (1) ; g (2) [.
D’après le théorème de la bijection f (x) = 5 admet une unique solution α sur l’intervalle [1 ; 2].
En encadrement, on obtient 1,41 < α < 1,42.

3) Soient a1 et a2 deux réels distincts non nuls tels que :
fa1 (x) = {█(- x + a1 si x Є [0 ; 1[@a1x² - + 2 – a1 si x Є [1 ; 2])┤ et fa2 (x) = {█(- x + a2 si x Є [0 ; 1[@a2x² + 2 – a2 si x Є [1 ; 2])┤

Si toutes les courbes Ca ont un point commun, et ceci quelque soit le réel a, alors :
- x + a1 = - x + a2, soit a1 = a2. Ceci est impossible car a1 ≠ a2.
a1x² + 2 – a1 = a2x² + 2 – a2, soit a1x² - a2x² = a1 – a2. On factorise : x² (a1 – a2) = a1 – a2.
Par conséquent, x² = 1, donc x = - 1 ou x = 1.
Or, - 1 Є [1 ; 2], donc le point d’abscisse x = 1 ne peut pas être le point commun de toutes les courbes Ca.
1 Є [1 ; 2] et on a : f (1) = 2.
En conclusion, toutes les courbes Ca admettent le point de coordonnées (1 ; 2) comme point commun quelque soit le réel a.

Trace un tableau de variations de f, en distinguant les cas a positif et a négatif.

ca change rien le signe de a, le sens de variation ne permet pas de connaitre les valeurs de a ...

Je comprends pas ce que tu veux dire.

Ce n'est pas en tracant un tableau de variation que tu vas déterminer des valeurs de a. Sauf si t'as une méthode...

Une fois que tu as le tableau de variations de f, c'est facile de voir s'il existe des valeurs non prises par la fonction.

Mes tableaux de variations

http://s2.noelshack.com/upload/14861931638202_numrisation0010.jpg

sérieux, ils m'aident pas ces tableaux de variation

Non mais fais gaffe, f n'est quasiment jamais continue en 1 (sinon il n'y aurait pas de problème de valeur non prise à cause du TVI).

Oui mais comment fais tu pour déterminer les valeurs de a?

Il faut travailler à partir de tableaux de variations justes parce que sinon...

Pour le cas a<0 par exemple :
f(0)=a, et f décroît jusqu'à 1 (non inclus), avec lim f(x) = a-1 quand x tend vers 1 par la gauche.
Pour x=1 il y a un saut de discontinuité et ça repart à f(1)=2, puis f décroît jusqu'à 2 où elle prend la valeur 2+3a.

On cherche à savoir s'il existe des valeurs situées entre a et 2+3a qui ne sont pas prises par la fonction. Il faut maintenant distinguer les cas a<2+3a et a>2+3a (pour savoir dans quel "sens" prendre l'intervalle [a,2+3a].

Si a<2+3a :
Ca équivaut à a>-1. On voit alors que toutes les valeurs situées entre a et 2+3a ne seront pas prises par f.

Si a>=2+3a :
Ca équivaut à a<=-1. Toutes les valeurs situées entre 2+3a et a seront prises, en vertu du TVI. En effet, sur l'intervalle [1,2], f est continue donc prend toutes les valeurs entre f(2) et f(1), soit entre 2+3a et 2. Or, comme 2>a, f prend a fortiori toutes les valeurs situées entre 2+3a et a.

Bref, pour a<0, il existe des valeurs situées entre f(0) et f(2) non prises par la fonction ssi a>-1.

Le raisonnement est analogue pour a>=0.

Merci, ca correspond à ce qe j'ai ecrit