Salut tout le monde.
Hier, on a commencé à étudier la leçon concernant les notions de logique mathématique.
Le prof nous a donnés une petite série de calculs à faire, afin de mieux introduire la leçon.
J'ai réussi à faire tous les exercices à part un seul.
L'énoncé est :
Soient x_1 et x_2 deux solutions différentes de l'équation ax²+bx+c = 0 où a > 0 et x_1 < x_2.
1) Démontrer que si |x_1| <= 1 et |x_2| <= 1 alors :
a+b+c >= 0 et a-b+c >= 0 et a-c >= 0
2)On suppose inversement que :
a+b+c >= 0 et a-b+c >= 0 et a-c >= 0
a- Vérifier que : (x_1 >= 1) ou (x_2 <= -1) ou (-1 <= x_1 < x_2 <= 1)
b- Démontrer que (x_1)(x_2) <= 1 et conclure que :
|x_1| <= 1 et |x_2| <= 1

Pour la première question :
a+b+c = a(1+b/a+c/a) = a(1-(x_1 +x_2)+(x_1)(x_2))
On a : a > 0. Il suffit de démontrer que :
1-(x_1 +x_2)+(x_1)(x_2) >= 0.
x_1 < x_2 => -(x_1 +x_2) > 2(x_2) et -(x_1)(x_2) > (x_2)²
L'idée, c'est de démontrer que :
1-(x_1 +x_2)+(x_1)(x_2) > ((x_2)+1)²
Mais je n'y arrive pas.
Pour les deux autres, c'est faisable.
Pour la question 2), je n'ai pas trop d'idées. Je pourrai y réfléchir après.
Je demande juste qu'on m'aide pour la première inégalité de la question 1.
Merci d'avance.

Trouvé.

Essaie de factoriser une partie de l'expression 1-(x1+x2)+x1x2 par x1 ou x2.

Le reste devrait se faire tout seul (en tout cas pour la 1)

Ça marche, merci.
Des idées pour la deuxième question ?

Bon, j'ai tenté.
En supposant que : a+b+c >= 0 et a-b+c >= 0 et a-c >= 0, je tombe sur trois propositions :
a+b+c >= 0
<=> (x_1 >= 1 et x_2 >= 1) ou (x_1 <= 1 et x_2 <= 1)

a-b+c >= 0
<=> (x_1 >= -1 et x_2 >= -1) ou (x_1 <= -1 et x_2 <= -1)

a-c >= 0
<=> (x_1)(x_2) <= 1

a+b+c >= 0 et a-b+c >= 0 et a-c >=
<=> (x_1 >= 1 et x_2 >= 1) ou (x_1 <= 1 et x_2 <= 1) et (x_1 >= -1 et x_2 >= -1) ou (x_1 <= -1 et x_2 <= -1) et (x_1)(x_2) <= 1

<=> (x_1 <= 1 et x_2 <= 1) ou (x_1 >= 1 et x_2 >= 1) et (x_1 >= -1 et x_2 >= -1) ou (x_1 <= -1 et x_2 <= -1) et (x_1)(x_2) <= 1

<=> (x_1 >= 1 et x_2 >= 1) ou (x_1 <= 1 et x_2 <= 1) ou (x_1 <= -1 et x_2 <= -1) et (x_1)(x_2) <= 1

<=> (x_1 >= 1 et x_2 >= 1) ou (x_1 <= 1 et x_2 <= 1) ou (x_1 <= -1 et x_2 <= -1) et (x_1)(x_2) <= 1

<=> (x_1 >= 1 et x_2 >= 1) ou (x_1 <= -1 et x_2 <= -1) et (x_1)(x_2) <= 1

Après, je ne sais pas si c'est correct.
Merci d'avance pour toute indication (appartenant à IR ).

Up.

4ème post...
Help, please.

J'ai vérifié les 3 propositions, c'est bon. Après, pour simplifier les choses, j'ai numéroté chacune des 5 parenthèses.
(x_1 >= 1 et x_2 >= 1) je l'appelle "1", (x_1 <= 1 et x_2 <= 1) je l'appelle "2"...etc.
Je note "+" pour "ou" et "." pour "et".

On a donc (1+2).(3+4).5
On développe : 1.3.5 + 1.4.5 + 2.3.5 + 2.4.5
Après on peut examiner chacun des termes pour essayer de simplifier ce qui peut l'être, et supprimer les termes contradictoires.

Le problème, c'est que je dois tomber sur trois propositions connectées par des "ou".
Je vais essayer. Merci, en tout cas.

Tu veux des cacahètes?

Yagaku en fait en faisant comme ça on arrive pas au résultat de la question a), mais directement à x1,x2 € [-1,1], soit le résultat final.

Oui, justement.
Mais je dois d'abord trouver le résultat de a). Je cherche à jouer avec les propositions. ^_^