Bonsoooir,

voilà c'est la rentrée et je suis très chamboulé (ça rime ), j'ai "tout" oublié mon programme de 1ere s, enfin quand même pas mais quand le prof a voulu nous expliquer les suite (chapitre1), raisonnement apr récurrence, j'ai carrément tout confondu et j'ai vraiment paniqué je ne comprend plus grand chose surtout qu'en classe c'est le bordel on est 35 et je suis tout au fond (par manque de place).. ce n'est pas une excuse je sais mais j'ai du mal à me concentrer quoi :/

Et donc on nous a parlé de propriété P, ça revient à parler de suite ?

Ensuite des étapes dont je n'ai "jamais" entendu: Initialisation, hérédité et conclusion...

Ce que j'ai compris en me renseignant un peu, je crois, c'est qu'à l'initialisation, on doit trouver le premier terme, puis à l'hérédité j'ai pas vraiment compris l'histoire de passer de n à n+1 :x

Et la conclusion, mon prof nous a dit que c'était q'une déduction ...

Bref, après m'être renseigné sur le net, je me suis encore plus embrouillé .. l'année dernière ça me paraissaît pourtant beaucoup plus simple

Donc si quelqu'un pourrait m'éclaircir ce serait super sympa de sa part

Merci d'avance
Et

Principe : t'as une échelle avec énormément de marches

Initialisation : tu arrives à monter la première marche
Hérédité : si t'es arrivé sur une marche quelconque tu arrives à monter sur la suivante

Dans ce cas tu arrives à monter toutes les marches de l'échelle

Tu as compris le système?

Ah ok le bug du smiley, je voulais pas mettre le hap...

On veut me tuer aujourd'hui... mais pourquoooi

Euuuh a peu près ouai ... Mais plus concrètement ça donne quoi ??

Ça te permet de prouver qu'une proposition est vraie pour tout l'intervalle sur lequel tu travaille.

Montrer par récurrence que 0 + 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
On note Pn la propriété suivante "0+1+2+...+n = n(n+1)/2"

Initialisation : vérifions si P0 est vraie
0*(0+1)/2 = 0
P0 est vraie

Hérédité : soit n un entier tel que Pn soit vraie

Montrons dans ces conditions que Pn+1 est vraie c'est à dire que
1+2+...+n+(n+1) = (n+1)((n+1)+1)/2 = (n+1)(n+2)/2

On a par hypothèse
1+2+...+n = n(n+1)/2

Donc 1+2+...+n+(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n(n+1) + 2(n+1))/2 = (n+1)(n+2)/2

Pn+1 est vraie

P0 est vraie
Pn vraie entraine Pn+1 vraie

Donc Pn est vraie pour tout n

Bon à toi de prouver par récurrence que
0+1+4+9+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6

Et la conclusion, N >ou égal n0 signifie quoi exactement

Ah ok on est déjà passé à la dérivée primitive nous

Bon en fait à l'initialisation tu montres que la propriété (ce que tu veux démontrer) est vraie au rang 1 (n=0 ou n=1 si ce que tu veux démontrer est définit pour n>0 par exemple)

Bon prenons n=0. Tu montres que ce que tu veux démontrer est vrai.

Tu remplaces n par un et le résultat doit être le même pour les 2 propositions

Ensuite tu passes à l'hérédité

Tu sais maintenant que la propriété est vraie pour n=0, youpi
Ensuite faut voir ce que tu veux démontrer. C'est là que p entre en jeu.
En fait c'est p c'est n mais bon c'est pour pas s'emmêler
Et là ça dépend de la suite (suite ou autre chose...)
Faut exprimer U de p plus un , c'est ce que tu veux démontrer.

En suite tu bidouilles pour faire apparaître U de p pour pouvoir utilisé la propriété de l'initialisation

Et puis après normalement en bidouillant plus ou moins t'arrive à ce que tu voulais démontrer

Voila voilà

Bah prenons un exemple bidon juste pour voir le principe.
Tu dispose d'une suite u(n) définie de manière suivante :

u(0)=0
Pour tout n de |N*, u(n+1)=u(n)+1

Ok c'est une suite arithmétique mais supposons que tu ne saches pas que pour tout n de |N, u(n)=n.
On voudrait montrer que pour tout n de |N, u(n)=n.
On procède alors pas récurrence sur |N.

On pose alors une hypothèse de récurrence dépendant ici du nombre n.
Ainsi, on peut poser l'hypothèse H(n) : "u(n)=n".

On procède alors à deux étapes pour vérifier la validité de notre hypothèse.
Tout d'abord, on montre que notre hypothèse est vraie pour le premier rang (c'est à dire pour n=0).
On va ensuite montrer que si pour n appartenant à |N*, u(n) est vraie, alors u(n+1) est aussi vraie.
Ainsi, on aura démontrer que u(0) est vraie.
Or, cela implique que u(1) est vraie ce qui implique que u(2) est vraie, etc...
Ainsi, on aura montré que l'hypothèse est en fait vraie pour tout entier naturel c'est à dire que pour tout n de |N, u(n)=n.

Voici les deux étapes de la "démonstration" :

Initialisation (souvent mais pas toujours le cas le plus simple) : d'après la définition de notre suite, u(0)=0.
Ainsi, notre hypothèse de récurrence est vraie au rang 0 (c'est à dire que H(0) est vraie).

Hérédité : on suppose H(n) pour un certain rang n de |N* (c'est à dire que l'hypothèse est vraie à ce rang n).
On a donc : u(n)=n d'après l'hypothèse.
Et d'après la définition de notre suite, on en déduis que u(n+1)=u(n)+1=n+1.
Ainsi, u(n+1)=n+1 implique que notre hypothèse de récurrence est vraie au rang n+1.
Cela termine l'étape d'hérédité.

On en conclut d'après la principe de récurrence que pour tout n de |N, u(n)=n.

Matt-IGN

Comment t'es passé de P(n):
0 + 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

à Pn+1

1+2+...+n+(n+1) = (n+1)((n+1)+1)/2 = (n+1)(n+2)/2

je vais aller manger et je lirais vos réponses merci beaucoup sérieusement pour votre aide je reviens dans 15minutes

Tu supposes P(n) soit
0 + 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

Maintenant tu veux trouver une autre forme de l'expression
0 + 1 + ... + n + (n+1)

Par hypothèse :

(0+1+...+n) +(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2

Je comprends pas d'où sort le (n+1) dans:

(0+1+...+n) +(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2

On a par hypothèse
1+2+...+n = n(n+1)/2

Et ici, c'est pas plutôt :

On a par hypothèse
1+2+...+n = (n+1)(n+2)/2

?

Non, l'hypothèse c'est P(n), et tu veux montrer P(n+1) en l'utilisant.

Voilà un exemple, est ce qu'il est bon svp ?

Montrer que (Pn) : (n+1)² = n² + 2n + 1

.Initialisation

P0 vraie ?
Pour n=0

(n+1)² = (0+1)² = 1² = 1
n² + 2n +1 = 1

Donc (n+1)² = n² + 2n + 1 donc P0 est vraie

.Hérédité

soit n € |N et Pn est vraie

Montrons que (n+2)² = (n+1)² + 2(n+1) + 1 vraie ?

(n+1)² + 2(n+1) + 1 = n²+ 2n + 1+ 2(n+1) + 1 = n² + 4n + 4 = (n+2)²

Donc Pn+1 est vraie

Ainsi Pn est vraie pour tout n € |N

Oui ça c'est juste (même si une récurrence est inutile pour montrer ça).
Seulement écris plutôt : "Soit n € N et SUPPOSONS P(n) vraie".

Okay je commence à piger ... mon frère m'a un peu expliquer, mais vu qu'il est en 1ere année de médecine, il a pas trop le temps + on s'en fout c'est vrai

Sinon merci beaucoup Prauron, le 'supposons' je l'oublie toujours

Cette année me fait peur en tout cas

Moi qui espérait une mention Très bien ça commence mal

J'avais une seule faille en terminale S. Le raisonnement par récurrence. Va savoir pourquoi j'étais incapable de comprendre ce délire je m'embrouillais tout le temps, en arrivant en prépa j'ai tout compris d'un seul coup d'un seul et je me suis dit "Putain je cherchais à compliquer un truc tout bête".

Et j'ai eu mention Très bien, largement. T'inquiète pas pour ça