Bonjours bonjours !
Voilà donc j'ai mon premier DM en MPSI; et j'ai une petite question sur un exercice de celui-ci, voilà l'énoncé:

f vérifie la propriété (E) si pour tout x,y appartient a R,
f(x+y) +f(x-y) =2f(x)

Et on ne sais pas si f est dérivable.
Dans les questions précédente, j'ai réussi a montrer que si f vérifie la propriété (E) alors la fonction x--> f(x)-f(o) vérifie aussi la propriété (E)

Et la question est la suivante, montrer que pour tout n appartient N et pour tout réel x, f(nx)= nf(x)
Et en déduire que pour tout rationnel p/q on a, f(p/q)= p/q * f(1)

Voilà
Si quelqu'un peu m'expliquer ce qu'il faut faire, j'ai essayer par récurrance mais je n'arrive pas a finir mon calcul ...
Merci d'avance !

Ça marche bien par récurrence. Seulement faut une récurrence double, t'as besoin du rang n-1 et du rang n pour avoir le rang n+1 (du coup faut initialiser n = 0 et n = 1).

Ouai mais j'ai pas encore les récurance double, je vais essayer et on verra !

jayniquay Le but de la prépa c'est d'apprendre, alors même si t'as pas fait, renseigne toi (à l'époque où nos profs étaient en prépa ils n'avaient pas encore internet, alors estime toi heureux )

Bon j'ai essayer la double recurance, mais je suis toujours bloquer avec mon rang n+1 !
J'ai calculé f((n+1)x) et je tombe sur 2f(x)- x(xn)
mais pour (n+1)f(x) je tourne en rond

• je tombe sur 2f(x) -f(xn)

Tu dois te servir de ça :
f(xn+n)+f(xn-n) = 2f(xn)

Ok merci, je vais essayer de chercher un peu  

Pour tout le reste, il y a Eurocard Mastercard

On peut pas se servir de f(xn+x)+f(xn-x) = 2f(xn) aussi ? 

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Non désolé erreur de ma part, c'est f(nx+x)+f(nx-x) = 2f(nx) .

Voilà t'avais deviné.

Si mes calculs sont bon, il me reste plus qu'a montrer que 2f(xn)-f(xn+2x)=0
Mais j'arrive pas 

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f(nx+x)+f(nx-x) = 2f(nx)
f((n+1)x) = 2f(nx) - f((n-1)x)
f((n+1)x) = 2nf(x) - (n-1)f(x) (hypothèse de récurrence double)
f((n+1)x) = (2n-(n-1))f(x) = (n+1)f(x).

Ah d'accord !
Moi j'avais calculer les 2 parties séparément

Merci beaucoup en tout cas ! 

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