Bonjour, je ne me souviens plus comment on trouve la limite de
x:-> ln(1+x)/x en +oo

C'est une limite connue en 0, mais en +oo je ne vois pas comment faire. C'est évident que ça tend vers 0, mais pour le démontrer...

d'avance

Quel niveau ?

Parce qu'avec un développement limité ça se fait tout seul .

Terminale S, donc je n'ai pas encore vu ça...

Ah, en en fait la fonction dont il faut trouver la limite est:
x:-> (x-ln(1+x))/x²

Au cas où ce que j'ai fait ne serait pas judicieux. J'ai transformé pour que "l'ennui" soit sur ln(1+x)/x
(ou ln(1+1/x)/x en transformant encore un peu)

Non non ce que tu as fait est très bien

A mon avis, dire que ln(1+x) est négligeable face à x pour x qui tend vers +oo par croissance comparée doit être suffisant :/

Mouahahah tu te compliques tellement la vie .

Tu as (pour x>0): (x-ln(1+x))/x² < x/x²=1/x car ln(1+x) < x

et hop le tour est joué .

C'est sûr que ça parait évident qu'à l'infini le 1 de (x+1), mais ça ne me parait pas très rigoureux

Ca ne veut rien dire ce que tu dis .

Mais je te conseille ma méthode, elle me parait assez chouette.

Je vois, merci beaucoup.

faut juste prouver que ln(1+x)<x, mais c'est très facile.

Il faut prouver que x>ln(1+x) > 0 pour être exact.

Mais c'est facile.

En fait on utilise juste le fait que: x-ln(1+x)<x
Donc que x>ln(1+x) on s'en fout un peu, non ? Suffit de dire que x>0 <=> ln(1+x) >0

Oui, pour faire ce que je dis il faut dire x>0. Car si x compris entre -1 et 0 ça marche pas. Donc ce que tu as fais est quand même utile

encore merci

Non on s'en fout pas, il faut que 0 < x-ln(1+x)<x

Pour faire le théorème des gendarmes .

(x-ln(1+x))/x² = 1/x - ln(1+x)/x

La limite en 0 de ln(1+x)/x est évidente, pas besoin de faire les gendarmes. Elle est dans le cour (nombre dérivé)

En +oo

ln(1+x) = ln(x(1+1/x)) = ln(x) + ln(1+1/x)

lim ln(1+1/x) = 0
x->+oo

Donc la limite en +oo de ta fonction c'est

lim ln(x)/x = 0
x->oo

Soit je n'ai pas bien suivi, soit tu fais un raccourci un peu rapide:

lim ln(1+1/x) = 0
x->+oo

Oui, mais ça ne donne pas la limite de (ln(1+1/x)) / x. On aboutit à une indétermination du type 0/0

x ne tend pas vers 0 mais vers +oo pour cette partie là.
La forme qu'on obtient c'est 0/+oo, ce n'est pas une forme indéterminée

En même temps il veut démontrer que :

lim ln(x)/x = 0
x->oo

Donc tu ne l'aides pas vraiment...

Pour montrer que ln(x)/x tend vers 0 en l'infini, tu peux étudier la fonction x->ln(x)-2sqrt(x), déduire de cette étude que 0=<ln(x)=<2/sqrt(x) (pour x>1), puis conclure.

0 = <ln(x)/x =< 2/sqrt(x) j'veux dire. Et l'étude de la fonction sur [1,+oo[ suffit.

lim ln(x)/x = 0
x->oo
est un résultat du cours en classe de terminale. Si on veut le démontrer à ce niveau, étudier la fonction x->ln(x)-2sqrt(x) me semble effectivement une bonne solution.
En tout cas, malgré ce qui a été dit plus haut, cela ne peut pas être fait directement avec un développement limité.