Salut!

J'ai un DM à rendre pour lundi (Et ou déjà), et comme j'ai pas fait de maths depuis plus de 3 mois, j'ai un peu de mal a me remettre dans le bain =/

On me donne donc f(x) = 1 / (x+1)x

Et on me demande de "Justifier les variations de f sur D et les limites aux bornes de D" (Je les ai déjà trouvée suite à une étude graphique)

Et ensuite "Résoudre algébriquement l'inéquation f(x) <(ou égale) 1/2 pour x appartient à D"

Pour les variations, je sais qu'il faut calculer la dérivée, mais justement, je sais plus du tout comment calculer une dérivée de ce style x_x
Et pour la résolution, j'en ai plus aucune idée..

Ca fait 1h que je coince la dessus, et je commence a en avoir un peu marre, donc si quelqu'un pouvait m'aider, rien que pour la dérivée, ca me serait déjà bien utile

Tu as f(x)= 1 / (x+1)x

Tu vois que c'est équivalent à:
f(x)= 1 / (x+1) * 1/x

Tu peux utiliser la formule de la dérivé d'un produit qui doit se trouver dans ton cours: (u*v)' = u'v+uv'

Avec u(x)= 1 / (x+1)
et v(x)= 1/x

Sauf que les variations de f sont :

- infini -> -1 croissant
-1 -> -0.5 -> croissant
(Il y a une limite en -1)
-0.5 -> 0 -> décroissant
0 -> + infini -> décroissant
(Il y a une limite en 0)

Je pense qu'avec les calculs je dois retrouver les "racines" -1, 0.5, et 0, non ?

Parce que la avec ton calcul ca marche pas =/

On a: f(x)= 1 / (x+1) * 1 / x

f est dérivable sur IR privé de -1 et 0

Soit f'(x)= [-1/(x+1)²] * 1/x + 1/(x+1) * (-1/x²)
soit f'(x)= -1/ [x(x+1)²] -1/[x²(x+1)]
soit f'(x)= (-x)/[x²(x+1)²] - (x+1)/[x²(x+1)]
soit f'(x)= (-2x-1)/[x²(x+1)²]

Tu détermines le signe de f', c'est celui de (-2x-1) car le dénominateur est strictement positif sur ID.
Dans ton tableau de variation, il ne faut pas oublier les valeurs -1 et 0 car ce n'est pas définie en ces points (tu mets une double barre).

En 0,5 tu vois que la dérivée s'annule c'est là que ça passe de croissant à décroissant

Ensuite pour la question:
"Résoudre algébriquement l'inéquation f(x) <(ou égale) 1/2 pour x appartient à D"

Il faut résoudre l'inéquation: f(x) <(ou égale) 1/2
soit 1/[(x+1)x] <(ou égale) 1/2
(Tu peux utiliser la règle du produit en croix)
...
...
soit x²+x-2 <(ou égale) 0

Ensuite tu cherches le signe de x²+x-2 en trouvant les racines et en sachant que le signe de la somme est du signe de "a" à l'exterieur des racines (avec les notations ax²+bx+c).

"f est dérivable sur IR privé de -1 et 0 "

Oh purée, comment j'ai pu oublier ca alors que c'était si simple =/
Le pire c'est que pour la dérivée j'avais bien fait comme ca, je trouvais bien la même chose que toi, et je devais étudier le signe de 2x+1 a la fin.. et je trouvais x = -0.5.
Merci =D

Sinon après pour l'inéquation, j'ai mon tableau de signe, mais de la je sais plus comment je dois en déduire les intervalles sur lesquels elle est vérifiée :/

Ouais faut faire attention aux valeurs interdites.

Sinon pour l'inéquation faut pas oublier de dire que tu la résous dans IR.
Tu prends les intervalles où l'inéquation est strictement négatif ou nulle
(Car tu résous x²+x-2 <(ou égale)0 )

Ici il n'y en a qu'un seul.

Sinon tu t'es trompé dans le calcul le la dérivée je crois.

"soit f'(x)= (-x)/[x²(x+1)²] - (x+1)/[x²(x+1)]"

Ici les deux fractions n'ont pas le même dénominateur, donc tu peux pas les soustraire

Et pour l'inéquation ca m'a pas l'air bon non plus, puisque sur l'étude graphique, sur l'intervalle -infini -> -2, f(x) est inférieur a 1/2..

Je suis complètement perdu, je comprends plus rien

Pas besoin de la formule de la dérivée d'un produit

(1/u)' = -u'/u²

Et u' pour u = (x+1)x ca donne quoi ?

Je suis totalement perdu, j'y suis depuis hier 23h sur ce devoir et je trouve rien

Désolé je connais que celle là

Sinon pour: soit f'(x)= (-x)/[x²(x+1)²] - (x+1)/[x²(x+1)]"
J'ai oublié de mettre le carré à (x+1) sinon c'est bon.

Et je me suis trompé de signe pour x²+x-2 <(ou égale) 0, en fait c'est x²+x-2 >(ou égal) 0

Donc tu prends que les intervalles ou l'inéquation est positive ?

Ouais c'est ça

Ah ben voilà ca me semble plus logique déjà x)

Par contre pour la dérivée, je trouve que la racine est 0.5, or, sur le graphique la variation est a -0.5.

(-2x-1) s'annule en -0,5

Je trouve pas ca moi, j'ai pas trop compris ton calcul en fait

Aaaah si ca y est j'ai compris
Merci!