Bonjour, je voudrais une aide pour cet exercice : http://s2.noelshack.com/old/up/e3-6c44fd1358.gif

Merci (j'ai récemment obtenu mon bac S)

Il doit falloir prouver que le produit a une valeur minimale quand a,b et c sont égaux.
En effet, si c'est le cas, a=b=c=1/3 et le produit vaut 4^3=64

'vais voir si je trouve quelque chose

Ce que je fais n'aboutit je pense sur rien du tout, je le met quand même au cas où

Ce que tu demandes revient à démontrer que (1+x)(1+y)(1+z)>=64 avec
xy+xz+yz=xyz, x y et z appartenant à ]1:+oo[

Ca a au moins le mérite d'enlever les fractions

J'ai pensé à créer une fonction pour déterminer le minimum, mais il y a 3 variables et ce n'est pas possible d'en fixer 2, à cause de la condition a+b+c = 1

Tain il m'énerve ton exo, j'arrive à prouver que c'est forcément supérieur à 32, mais après...

La clef de l'exercice est l'utilisation de l'inégalité arithmético-géométrique qui dit que pour (x1,…,xn) de R^n tu as :
[(x1 + x2 + … + xn)/n]^n >= x1*x2*…xn

Tu peux essayer de chercher avec ça, je fournis la solution détaillée plus bas.

En notant A=(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c), on a .
A = 1 + 1/a + 1/b + 1/c + 1/ab + 1/bc + 1/ac + 1/abc
Si tu notes q = 1/(abc)^1/3, l'inégalité arithmético-géométrique te permets de dire que :
1/a + 1/b + 1/c >= 3q et 1/ab + 1/bc + 1/ac >= 3q^2
De plus, 1/abc = 3q^3
D'où, A >= 1 + 3q + 3q^2 + q^3 = (1+q)^3
Mais, toujours d'après l'inégalité, q >= 3/(a+b+c) = 3
Donc, A >= 4^3 = 64

Euh Merci bien MCWarriors, je me disais bien qu'il fallait utiliser un truc que je ne connaissais pas

Devoir de vacances avant la prépa ?

Non non, j'ai trouvé cet exercice en farfouillant un peu