x'(t) = -2x(t)+3y(t)
y'(t) = 4x(t)-5y(t)

que vaut x(t) et y(t) ?

Tu transforme ça en équation matriciel :
X'(t) = A*X(t)
Avec :
X'(t) = (x'(t), y'(t))
X(t) = (x(t), y(t))

Et A une matrice, qui ici est :
-2 3
4 -5

Tu diagonalise (ou trigonalise, j'ai pas fait) cette matrice, tu trouvera donc un nouveau système.
Donc en posant P la matrice de passage, D la matrice diagonale, tu auras :

X' = (P^-1)*D*P*X
on multiplie par P :
P*X' = D*P*X
On pose Y' = P*X' et Y = P*X

On se retrouve donc avec cette équation :
Y' = D*Y
Quand on retranscrit en système d'équa diff, on aura un truc beaucoup plus simple, et suffira de "dédiagonaliser" pour trouver ce que tu cherchais

Enfin juste une question, t'es en quelle classe ? :clown:

Car pour un tel système y a ptete plus simple (et surtout, t'as pas forcément vu la diagonalisation )

Tu transformes ton système sous forme matricielle : X' = AX. Tu as A diagonalisable donc : D = P.A.P^(-1). Calcul des v.p. et faut trouver la matrice de passage P.

Ensuite une fois que tu as D, on pose Y = P^(-1).X et donc soit X = P.Y.

P.Y' = A.P.Y, on applique P^(-1) : Y' = P^(-1).A.P.Y = D.Y

Et donc cela simplifie la chose. Tu cherches Y puis tu trouves X en utilisant X = P.Y.

Raaah owned, j'avais oublié de cliquer sur poster depuis 20mn !!!!!

Mouhahaha

Sauf que je me suis gouré, j'ai mis A = P^(-1).D.P au lieu de A = P.D.P^(-1) ...

j'ai pas encore fait d'algèbre linéaire

Je suis au lycée, disons un bon niveau TS

J'en était sûr, c'était trop simple sinon

Dérive une équation et réinjecte l'autre, pour te ramener à une équation scalaire du second ordre.

Prau : y'aura une seconde constante d'intégration, comment la déterminer ?

Tu arrives à une équation du type x"+ax'+bx = 0 non ? Il suffit de la résoudre, de réinjecter la solution dans la deuxième équation, qui sera alors une simple équation du 1er ordre en y.

Y'aura deux constantes mais c'est normal. Comme t'as pas de conditions initiales tu peux pas les déterminer.

c'est une recette de cuisine