Je dois trouver les 3 derniers chiffres de 7^7777

Comment je dois faire ?

A mon avis faut étudier à quoi ce nombre est congru modulo 1000

Je ne sais pas si ça marche bien, mais si oui c'est parfait.

Par exemple si 7^7777 = 36 [1000] (au hasard hein, c'est pas la réponse ^^) on aura
7^7777=1000*x + 36. Et les trois derniers chiffres sont donc 036

J'y avais pensé, mais 7^7777 c'est un peu grand non ?

Ca dépend. 'faut espérer pour toi qu'il existe un petit n tel que 7^n = 1 [1000] ou -1 [1000]

Essaie 100 pour le n.

Ok je vais voir si ma calculatrice prend.

Malheureusement même 7^100 modulo 1000 ne passe pas.

D'autres solutions ?

7^20 est congru à 1 modulo 1000 d'après la calculette Windows.

Décompose la puissance.
7^7777=((7^7)^11)^101

Pour la dernière, tu peux aussi décomposer 7^101=(7^10)^10 * 7

A partir de là, comme la multiplication est compatible avec la congruence, tu dois pouvoir calculer par congruence successives.
Un peu bourrin, et y a p-e plus fin, mais ça se fait sans trop d'emmerdes.

Une autre méthode serait de considérer le nombre de nombres premiers avec 1000 plus petit que lui et de considérer le groupe multiplicatif (Z/1000Z)** et de conclure avec Lagrange, mais ça c'est seulement si t'es dans le supérieur...

Y a p-e une bien meilleur méthode, mais là tout de suite, je vois pas.

7^15 = -57[1000] par la caltos.

Quelqu'un a mieux ?

1. Morphisme Voir le profil de Morphisme
2. Posté le 29 juillet 2010 à 17:25:18 Avertir un administrateur
3. 7^20 est congru à 1 modulo 1000 d'après la calculette Windows.

Ca, ça veut dire que 20 est l'ordre de 7 dans le groupe (Z/1000Z)**, donc si tu trouves r le reste de la div euclidienne de 7777 par 20, t'aura que 7^7777 congru à 7^r modulo 1000.
Ca revient un peu à ce que je proposais avec Lagrange (sauf qu'avec Lagrange, on prend un multiple de l'ordre et pas l'ordre lui-même, à savoir le cardinal du groupe).

J'ai trouvé les trois derniers chiffre ( 207) faut que je rédige la méthode

C'est 207.

"Une autre méthode serait de considérer le nombre de nombres premiers avec 1000 plus petit que lui et de considérer le groupe multiplicatif (Z/1000Z)** et de conclure avec Lagrange"

J'ai absolument rien bité

"J'ai absolument rien bité "

Ca revient à utiliser le théorème d'Euclide en fait.
(Un truc qui ressemble au petit th de Fermat, mais pour les nombres non premiers).

le th d'Euler et pas d'Euclide***

On prendra le égale pour congru (=)

7^1=7[1000]
7^2=49[1000]
7^3=343[1000]
7^4=401[1000]
7^5=807[1000]
7^6=649[1000]
7^7=543[1000]
7^8=801[1000]
7^9=607[1000]
7^10=249[1000]
7^11=743[1000]
7^12=201[1000]
7^13=407[1000]
7^14=849[1000]
7^15=943[1000]

Après avoir fait ça j'ai remarqué la série finale des deux chiffre

7
49
343
401
-----
807
649
543
801
-----
607
249
743
201
----
407
849
943 (j'ai déduit selon la technique ci dessous)
601
-----
207

Pour déterminer la suite j'ai remarque que les série finissant par 7 était descendante de 200 ( ne prenant compte que 7 <=> 1007)

Les series finissant par 49 déscendante de 400
les séries finissant par 43 montante de 200
les series finissant par 01 montante de 400

J'ai donc étudier la congrance de 7777 par rapport a 4 ( pour determiner les deux dernier chiffre) 7777=1[4]

Donc 7777= X07[1000]

Déterminons X

1-> 007
5-> 807
9-> 607
13->407
17->207
21->007

Donc ce sont des series de 20

j'ai donc étudier la congruance de 7777 [20]

et 7777= 17 [20]

donc les trois dernier chiffre sont 207

Compliqué pour rien ton truc j'ai l'impression.

Tu sais que 20 est l'ordre de 7 modulo 1000.
Donc 7^20=1 mod 1000
Et 7777 = 20*388 + 17
Donc 7^7777=(7^20)^388 * 7^17 = 1^388 * 7^17 mod 1000
Et 7^17 = 207 mod 1000

Dis tout de suite théorème d'Euler alors, parce que "le nombre de nombres premiers avec 1000 plus petit que lui" c'était pas très lipide

Ni très glucide d'ailleurs

• limpide