Salut, sur mon livre de terminale spé, y'a un exo qui me gêne..
Calculer le reste de la division euclidienne de 10^9^8 par 7.

Je trouve 1 mais le résultat est 6, comment je dois faire ?

C'est dû au fait que 9^8 mod 6 = 3

Après tu fais 1000 = 7*142 + 6

donc c'est bien 6.

Tu peux détailler stp ?

Désolé je suis pas très fort (mais j'ai eu le bac)

Tu étudies le reste de la div.eucl. de 10^n d'abord

On retient de cette étude que pour n = 6k + 3, le reste est 6

Après tu regardes à quoi est congru 9^8 modulo 6

En utilisant Fermat : 9^5 congru à 3 modulo 6 donc la réponse est 6

Heu pardon 9^5 congru à 1 modulo 6 avec le th. de Fermat, d'où 9^8 congru à 3 modulo 6, d'où ma dernière phrase

"Heu pardon 9^5 congru à 1 modulo 6 avec le th. de Fermat"

Le petit théorème de Fermat, ca marche avec des nombres premiers non ? 6 ne l'est pas ..

Et ca 9^5 mod 3 donne bien 3...

Heu oui c'est vrai tu as raison mais en utilisant le théorème général tu trouves la même réponse

9^5 mod 6 donne bien 3...

9^k mod 6 = 3 pour tout k>=1.

Mais c'est bon j'ai compris la technique, merci.

Attends, t'es parti du fait que pour n = 6k + 3, le reste est 6

et t'as montré que 9^8 est sous cette forme..

Mais c'est parce que tu avais la réponse.
Si tu l'avais pas eu, comment tu ferais ??

Tu aurais fait pareil pour 0,1,2 ..,5 comme reste ???

Y'a pas un moyen plus rapide ?

Si y'en a un mais bon...

Si tu connais pas le résultat avant, tu étudies les congruences modulo 7 des puissances de 10, elles sont forcément périodiques. Ici cette période est 6.
Tu étudies donc la congruence de la puissance modulo 6 (histoire d'en déduire la congruence modulo 7 de 10^bidule).
Ici on trouve que la congruence modulo 6 est toujours 3, donc 10^(9^8) est congru à 10^3=6 modulo 7.

okay je vois, merci

Ouais voilà en simple.

Tu pourras remarquer que cette période divisera toujours (p-1) (p le nombre premier)

Comment ça se fait ?