Bonjour, un ami m'a donné un exo qui est faisable avec les connaissances de TermS d'après lui. Voici l'énoncé :

f(x) = f(2x)
f est continue sur R

Montrer que f est constante

Merci de me donner une réponse

On peut dire que f(2^n)=f(2^(n+1))
Je ne sais pas si c'est utile mais c'est le seul truc qui semble intéressant que j'ai pu trouver pour l'instant.

Oui mais je crois que c'est pour tout x appartenant à R et non pas à N

f est continue en 0 donc
lim f(x) = lim f(x) = f(0)
x->0-      x->0+

Soit x appartenant à R+

f(x) = f(x/2) = f(x/4) = f(x/8)
= lim f(x/2^n) = lim f(X) = f(0) par composition
  n-> 0            X->0+

Pareil pour x appartenant à R-

donc f(x) =f(0) pour tout x appartenant à R d'où f constante
Je sais pas si c'est super rigoureux comme démo après

euh n tend vers plus l'infini pas vers 0

Je pense avoir trouvé, mais la rédaction c'est pas ça. ^^

f(2x)=f(x)=f(x/2)=f(x/4)=f(x/8)=...=f(x/(2^n))

La fonction étant continue, la limite de f(x/2^n) quand n tend vers +oo est f(0).

Et là ça parait intuitif qu'on a donc f(0)=f(x), mais je vois pas trop quel théorème permet de dire ça...

C'est l'idée. L'argument de continuité te permet de passer à la limite dans ta suite "f(x/2^n)" et de conclure.

Shakey : Théorème de composition des limites. Il nécessite la continuité de f.

C'est quoi ce théorème ? On ne l'étudie pas en Terminale non ?

On peut utiliser les suites aussi:

Soit un réel x.
On a pour tout entier n:
f(x) = f(x/(2^n)).

f étant continue, la suite ( f(x/(2^n)) ) converge vers f(0).
Or cette suite est constante en f(x).

D'où f(x) = f(0)

Ben c'est le principe même de la continuité shin
lim f(x) = f(0) si f est continue en 0
x-> 0