Salut, tout le monde.
Je voulais savoir comment on a pu calculer l'approximation de la valeur de la constante d'Euler, exponentielle.
Je sais que : Sum 1/n! ; n = 0 to infinity = e
J'ai pensé qu'on avait procédé de cette manière :
e = lim (Sum 1/n! ; n = 0 to m) ; m tends to infinity. Mais je ne vois pas trop comment terminer, après.
Sinon, je me demandais si le logarithme népérien était le seul à avoir comme base un nombre transcendant, ou si c'était possible d'avoir d'autres logarithmes du même type, du genre : logarithme de base Pi.
Merci d'avance.

Je sais que log_a (x) = ln(x)/ln(a). Mais merci tout de même. ^^
C'est juste que je ne veux pas de passage aux ln, quoi.
Tu peux me dire les autres méthodes, concernant l'approximation de e ?

Et sinon, pourquoi (1+1/n)^n ? (là, on utilisera sûrement le binôme de Newton)

En tout cas on peut démontrer que la suite tend vers e sans le binome de Newton, en utilisant le th. des gendarmes. Mais je m'en souviens plus...

n/((n!)^1/n) [n divisé par la racine n-ième de n factoriel] tend aussi vers e en +oo, je peux essayer de te trouver un type Bac qui permet de le démontrer si ça intéresse.

Pour ce qui est d'un logarithme en base pi, je vois pas trop comment on pourrait l'exprimer sans passer par ln...

Bah, pourquoi un log_e = ln existerait, et pas un log_pi ?

Sinon (désolé pour les surplus de posts de ma part), je te serai reconnaissant si tu me filais des méthodes, ou quelques indices pour que je comprenne la méthode d'approximation.

C'est bon, laisse tomber. x)

Bah en fait tu démontrer que les suites tendent vers e, et tu t'en sers pour déterminer une approximation du nombre. Il y a surement des méthodes pour déterminer la qualité de cette approximation, mais je les connais pas.

Je vais voir pour les méthodes ^^

Donc a partir de ça tu peux démontrer avec des outils de TS la convergence de la suite n/[(n!)^1/n]
Tu peux juste t'intéresser au raisonnement ou faire l'exo si t'as envie. Ca sera pas forcément très facile par contre ^^

http://s2.noelshack.com/o/old/up/scan_4-ae41454254.jpeg
http://s2.noelshack.com/o/old/up/scan_5-ddba728710.jpeg
http://s2.noelshack.com/o/old/up/scan_6-dca0d20b25.jpeg
http://s2.noelshack.com/o/old/up/scan_7-a4905a7a95.jpeg

Pour calculer une valeur approchée de e, comme tu l'as dit un moyen simple c'est de calculer la somme des 1/k! avec de plus en plus de termes. En plus cette série converge très rapidement vers e.

Mais la somme des inverses des factorielles, elle n'a pas une forme générale ?

Sinon, merci à vous. ^^

Non pas de forme générale autre que l'écriture en somme.

(1 + 1/n)^n = exp(n*ln(1 + 1/n))

Après il suffit d'utiliser un équivalent de ln(1 + 1/n) en +infini (ou un développement limité), pour trouver que:
ln(1 + 1/n) ~ 1/n

Donc:
n*ln(1 + 1/n) ~ 1

Donc (1 + 1/n)^n converge vers e.

Oui là il vaut mieux faire une composition de DL, parce que les équivalents ne passent pas à l'exponentielle (même si dans ce cas ça marche).

Mais je ne sais pas s'il connaît ces outils.

Je ne suis pas habitué au développement limité. :/

Tu peux montrer ça de cette façon :
n*ln(1+1/n) = (ln(1+1/n)-ln(1+0))/(1/n - 0)
Par définition du nombre dérivé, cette quantité tend, quand n vers l'infini, vers le nombre dérivé en 0 de la fonction x->ln(1+x), c'est-à-dire 1.
Donc exp(n*ln(1+1/n)) tend vers exp(1).
C'est-à-dire (1+1/n)^n tend vers e.

Merci Prau(ron?). n_n

c'est pas des math sa

Ah bon ? C'est quoi alors ?