Bonjour, je dois majorer f'(x) où f(x)=(1/9)*(2-exp(x))² définie sur [0,1]

Je trouve pour la dérivée : f'(x)=(-2/9)*(2-exp(x))*exp(x)

Comment majoré ceci ?

merci

Bah si f' est croissante sur [0,1], elle est majorée par f'(1), sinon elle est majorée par f'(0). Etudie le signe de f²(x).

Ok, en fait ce qu'on me demande c'est de majorer |f'(x)| et non f'(x) (comme je l'ai marqué plus haut).
Je dois quand même étudier la monotonie de f' ?

Mais oui tkt

Et pour la majoration (que ma dérivée soit croissante ou décroissante) je prend le max de f'(0) et f'(1) ?

Rien ne dit que la dérivée est monotone. Enfin elle l'est peut-être mais si elle l'est pas il se peut très bien que le max de |f'| soit atteint en un autre point que 0 ou 1.

Elle est monotone, c'est trivial ! Ca se voit à la tête de la fonction.

f'(x)=(-2/9)*(2-exp(x))*exp(x)

|f '(x)| = 2/9 |2 - exp(x)|*exp(x)

A partir de là, tu as beaucoup de façon de majorer.
La majoration la plus brutale (la moins précise) consiste à utiliser l'inégalité triangulaire, puis à prendre le max de chaque composante sur [0,1]:

|f '(x)| = 2/9 |2 - exp(x)|*exp(x) < 2/9 (2 + exp(x))*exp(x)
< 2/9 (2 + e)*e

Si tu veux faire ça de façon plus subtile, tu peux calculer f '', chercher le max et le min sur [0,1] et prendre le plus grand des deux en valeur absolue.

T'as de la chance bourreau, elle l'est.