bonjour a tous ! j'ai un exercice de maths que je ne comprend pas du tout. j'ai fais globalement le 1° mais a partir du 2 je commence a peiner . . . si quelqu'un pouvais m'aider sa serais gentil . merci d'avance.

exo :

avant d'exploiter une nouvelle idée de boisson, une entreprise cherche a déterminer la quantité optimale a produire, par jour, pour minimiser le cout moyen de production. ses installations permettent de considérer seulement les cout variables (salaires, énergie, matières premières ...) de production ; le cout total C de production en fonction en fonction de la quantité q produite est donnée par :

C(q)= 1/3q3-3q²+15q,

où q est exprimé en milliers de litres et C(q) en milliers de francs

1° le cout marginal de production, noté Cm, est l'accroissement du cout total pour une unité supplémentaire de production :
Cm(a)= c(a+1)-c(a) avec a exprime en litres.

a) En économie, on donne une approximation du cout marginal par la dérivé C' du cout total : Cm(q)=C'(q)
Justifiez cette approximation en écrivant la variation, du cout total lorsqu'on passe de la production q a la production q+ delta q, puis en calculant la limite de cette variation lorsque la variation de production delta q devient proche de 0

b)soit g la fonction définie sur [0;8] par g(x)=x²-6x+5
calculez g'(x), étudiez le signe de g'(x) et déduisez en les variations de g. dressez le tableau de variation.

c)vérifiez que g(q)=Cm(q). construisez la courbe représentative de la fonction Cm dans un repère orthogonale.

2° Le cout moyen de production noté CM est egal au cout total divisé par la quantité produite.

a) vérifiez que CM(q)= 1/3q²-3q+15

b) montrez que CM(q)= 1/3 (q-4,5)²+33/4
déduisez en q0 à produire pour que le cout moyen soit minimal.

c) construisez la courbe représentative de la fonction CM

d) verifiez graphiquement que les courbes (r1 r2) se coupent lorsque le cout moyen est minimum.

3° soit h la fonction définie sur ]10;8] par : h(q) = c(q) / q

a) calculez la dérivée de h' en utilisant la formule dérivée d'un quotient

b) en remplacant c'(q) par Cm(q), montrez que h'q s'annule lorsque le cout moyen est egal au cout marginal

4° quelle est la quantite optimal a produire par jour pour minimiser le cout moyen de production ? quel est alors le cout total de production ?