Salut tout le monde. J'étais en train de faire une série sur les fonctions, et je bloque bizarrement sur une question simple.
Voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie par : f(x) = E(x)+E(x+1/2)-E(2x)
1) Démontrer que f est une fonction périodique de période 1/2.
2) En conclure que : Pour tout x de R : E(x+1/2) = E(2x)-E(x)
3) Démontrer que : E((x+1)/2)+E((x+2)/4)+E((x+4)/8) = E(x)-E(x/8)

La 3ème, faisable. 1ère, déjà faite. La seconde, elle me bloque.
En considérant que la propriété est vraie :
(PT x de R) : E(x+1/2) = E(2x)-E(x)
<=> (PT x de R) : E(x)+E(x+1/2)-E(2x) = 0
<=> (PT x de R) : f(x) = 0

Et je ne vois pas comment démontrer que (PT x de R) : f(x) = 0

Une petite suggestion s'il-vous-plaît ?

Tu dois en effet montrer que f est partout nulle. Comme tu sais qu'elle est 1/2-périodique il suffit de montrer qu'elle est nulle sur un intervalle de longueur 1/2, par exemple [0,1/2[.

J'avais démontré ça pour x = 0, mais je pensais que ce serait insuffisant.
Merci bien, Prauron. ^^

Pour <= 0 x <= 1/2, pardon.

Bonsoir de nouveau. S'il-vus-plaît, j'aimerais qu'on m'aide pour un second exercice sur le même type de fonction.
Voici l'énoncé :
Soit n un élément de N.
Trouver E(V(4n²+4n)) en fonction de n et en déduire que E((Vn +V(n+1))²) est un nombre impair.
V(x) désigne sqrt(x) et E(x) la partie entière par défaut.
Pour le 1er, j'ai tenté ça :
V(4n²+4n) = 2(Vn).V(n+1) = [(Vn +V(n+1))²-(Vn -V(n+1))²]/2
Mais ça ne mène à rien.
J'ai tenté : V(4n²+4n) = V(4n(n+1)) = V(8k) / k € N
Rien non plus.
J'ai tenté : V(4n²+4n) = V[(2n+1)²-1]. Ça ne mène à rien.
Si quelqu'un a une idée, je demanderais qu'il m'aide.
Merci d'avance. n_n

S'il-vous-plaît*

Help please.

Déjà on peut conjecturer que la réponse est 2n, ça t'aidera peut-être à trouver.

Factorise par 4n² dans la racine.

J'avais conjecturé que c'était 2n en remplaçant par des valeurs par calculette.
Mais pour démontrer par récurrence, c'est chiant.
Ca me donne : E(2n.V((n+1)/n)), mais je ne vois pas trop comment finir... o_O

sqrt(4n²+4n) = 2n*sqrt(1+1/n).
Or 2n=<2n*sqrt(1+1/n).
Pour montrer que 2n est bien la partie entière de sqrt(4n²+4n) il reste donc à montrer que 2n*sqrt(1+1/n) < 2n+1, c'est-à-dire 2n*sqrt(1+1/n) < 2n(1+1/(2n)), ie sqrt(1+1/n)<1+1/(2n), ce qui évident (tu élèves au carré chaque membre).

ce qui est*

Ah oui, c'est vrai. >.<
Merci Prauron. ^^