Bonsoir à tous

Voici mon problème :

1) Démontrer que pour tout nombre entier naturel k :
- 5^(4k) est congru à 1 modulo 13
- 5^(4k+1) est congru à 5 modulo 13
- 5^(4k+2) est congru à -1 modulo 13
- 5^(4k+3) est congru à -5 modulo 13

2) Quel est le reste dans la division euclidienne de (5^2009)-1 par 13 ?

Merci beaucoup en avance !

1) 5^4 = 625 = 1[13]
Donc 5^(4k) = (5^4)^k = 1^k = 1[13]
Donc 5^(4k+1) = 5*5^(4k) = 5[13] (parce que si a=b[13] alors ac=bc[13])
Et pour les autres c'est pareil.

2) C'est juste une application du 1). Faut simplement trouver si 2009 s'écrit 4k, 4k+1, 4k+2 ou 4k+3 puis appliquer le 1).

5^2 =25 congru à -1 mod 13
(5^2)^2 congru à 1 mod 13
5^4 congru à 1 mod 13
(5^4)^k congru à 1^k = 1 mod 13
5^'k congru à 1 mod 13

pour les autres tu multiplies l'égalité par 5

2)
2009 = 4* 502 +1
donc 5^2009 congru à 5 mod 13
d'où 5^2009 - 1 congru à 4 mod 13
d'où le reste de 5^2009 - 1 par 13 : 4

Waow ! Merci pour cette réponse rapide ! :D