Salut, je bloque sur une question d'un exercice:

n et k sont des entiers tels que:
n>=2 et 1=<k=<n

J'ai prouvé auparavant que: ((k-1)/n)^2 =< k(k-1) / n(n-1) =< (k/n)^2

On pose I(n,k)= intégrale de (k-1)/n à (k/n) de sqrt(1-t^2) dt

Et j'avoue ne pas savoir par où commencer. Merci par avance.
Il faut montrer que , pour des valeurs convenables de n et de k à préciser, on a:

n * I(n;k+1) =< sqrt( 1 - [k(k-1) / n(n-1)] ) =< n* I(n;k-1)

Comme x:->sqrt(1-x^2) est décroissante sur [0;1], on peut déduire de la première inégalité déjà démontrée que:

sqrt(1 - (k/n)^2 ) =< sqrt( 1 - [k(k-1) / n(n-1)] ) =< sqrt(1 - [(k-1)/n]^2)

Reste donc "simplement" à démontrer qu'on a, pour certaines valeurs de n et de k:

n* I(n;k+1) =< sqrt(1 - (k/n)^2 )
et sqrt(1 - [(k-1)/n]^2) =< n * I(n;k-1)

Le "Et j'avoue ne pas savoir par où commencer. Merci par avance. " s'est glissé un peu trop haut. l'aurait du être tout en bas

Tu peux majorer l'intégrale par le max de la fonction que t'intègres (atteint en la borne inférieure de l'intégrale puisque la fonction est décroissante) multiplié par la longueur de l'intervalle d'intégration (ici 1/n).

Ca te donne donc ce que tu voulais montrer : n* I(n;k+1) =< sqrt(1 - (k/n)^2 )

Et pour sqrt(1 - [(k-1)/n]^2) =< n * I(n;k-1) il faut cette fois minorer l'intégrale (avec le min de la fonction).

Merci beaucoup.

Mais comment prouver que je peux majorer ou minorer une intégrale de cette façon ? Je ne me souviens pas d'avoir vu ça...

http://tice.insa-lyon.fr/emaths/pages/fr/contents/09-les%20primitives%20et%20le%20calcul%20integral/11-i%20-%20Propri%C3%A9t%C3%A9s%20v%C3%A9rifi%C3%A9es%20par%20l%27int%C3%A9grale/contents/inegalite.xhtml

Ça ne te dit rien ça ?

Dans le cas de ton exo, f étant décroissante sur [a,b] on a f(b)=<f(x)=<f(a).

J'avais complétement zappé ce théorème, je n'avais jamais eu à l'utiliser auparavant.

En considérant I(n;k+1), j'obtiens donc:

0 =< I(n;k+1) =< 1/n
=> n*I(n;k+1 =< 1

Et reste pas grand chose à faire pour tomber sur ce qu'il faut.

encore merci.

Bon, je sais pas si c'est parce que je viens de reprendre l'exo à l'instant et que donc je ne suis pas bien dedans, mais en fait j'ai pas l'impression que ça va si bien que ça:

n*I(n;k+1) =< 1

Mais je ne peux pas en déduire directement que n*I(n;k+1) =< sqrt(1 - (k/n)^2 )

A moins que j'ai loupé un truc

Okay, c'est bien parce que j'étais pas dedans. Il faut prendre comme maximum de la fonction sqrt(1-(k/n)^2). 1 est une valeur trop 'imprécise'.

C'est bion alors. ^^