Salut a tous, j'aimerais savoir quelque chose sur les suites : une suites croissante et qui converge, converge-t-elle forcément vers son majorant ?

ok, et une suite croissante qui ne converge pas peut-elle être majorée ?

okay merci
donc si on a une suite croissante, pour montrer qu'elle n'est pas majorée, il suffit de montrer qu'elle ne converge pas ?

dans ce cas, si on a une suite définie par récurrence telle que Un+1 = f(Un), si Un converge, c'est vers l telle que l=f(l). faut donc montrer que c'est absurde non ?

merci beaucoup

donc la suite en question est définie par U0=1 f(Un)=Un+1 et f(x) = ln(x+1) + (1/2)x², f définie sur [0;+oo[

précedemment, on a démontré que Un était croissante et Un>=1 .

on nous demande de démontrer qu'elle n'est pas majorée, voila comment j'ai fait:

Si Un est majorée, alors elle converge vers une limite L car Un croissante. U0 = 1, donc L>1 car Un croissante. La seule limite possible de Un est telle que f(L) = L car Un+1 = f(Un) et f est continue sur son ensemble de définition.

donc pour résoudre l'équation, j'ai étudiée la fonction g(x)= f(x) - x
g(x)= ln(x+1) + (1/2)x²-x

donc après avoir fait le tableau de variations, on voit que g est croissante sur [0;+oo[, g(0) = 0 et lim g(x)= +oo .
D'après le théorème de bijection, il n'existe qu'une seule solution à l'équation g(x) = 0 avec x € [0;+oo[, comme g(0) = 0, 0 est cette seule solution.

Donc g(x) = 0
<=> ln(x+1) + (1/2)x² -x = 0
<=> ln(L+1) + (1/2)L² = L
<=> f(L) = L

0 est donc la seule solution possible à cette équation , et donc si Un converge, c'est forcément vers 0.
seulement U0 = 1 et Un croissante, c'est donc absurde.
Donc Un ne converge pas, et n'est donc pas majorée.

Voila je sais que c'est un peu long, mais j'aimerais savoir si c'est correcte niveau rédaction?

merci à ceux qui auront le courage de lire jusqu'au bout

un ptit up

Ça a l'air niquel

cool merci

Donc g(x) = 0
<=> ln(x+1) + (1/2)x² -x = 0
<=> ln(L+1) + (1/2)L² = L
<=> f(L) = L

Euh ... ça veut rien dire. Tu peux remplacer ce paragraphe par :

"si L existe, alors L = 0"

ouais c'est vrai, merci^^