Salut à tous,

Voici l'énoncé: Etudiez le nombre de points d'intersection entre la courbe représentative de l'exponentielle ( y=e^x) et une droite variable passant par l'origine ( y=mx )

Pour l'instant, j'ai dit que lorsque x<0, et m<0, il y a une solution.
Ensuite j'ai trouver la tangente de la courbe y=e^x passant par l'origine d'équation e^1*x, et j'ai dit, quand x>0, et m>e, il y a AU MOINS une solution.

Après, si on regarde bien, on peut voir que la droite variable peut couper 2 fois la courbe représentative de l'exponentielle, mais je ne sais pas trop comment le montrer...

Pouvez vous m'aider svp?

Sinon, mon raisonnement est-il correct?

ton raisonnement est sûrement faux, le nombre de points doit être déterminé en fonction de m et non en fonction de x :

C'est déterminé en fonction de m, j'ai juste dû mal m'expliquer: En gros, ce que je veux dire, c'est que lorsque m>e, il y a au moins une solution quand x est positif. Quand x est négatif, il n'y a aucun point d'intersection.

f(x) = exp(x) - mx
f'(x) = exp(x) - m

1er cas : m < 0
f est strictement croissante, donc...

2e cas : m > 0
tableau de variation etc...

J'ai pas bien compris ce que t'as mis

C'est faux ton raisonnement

f(x) = exp (x) - mx avec m négatif

lim f(x) = - oo quand x tend vers - oo

lim f(x) = + oo quand x tend vers + oo

donc d'après le TVI ( f continue ) y a une solution

Ah non d'accord j'ai mal compris on étudie pas la solution mais le nombre de solution :/

Mon raisonnement avec la tangente est faux?
Pourtant, il me semble tout à fait logique, que si m>e (coefficient directeur de la tangente de exp (x) passant par 0, il y a au moins une solution?

Le but c'est de savoir le nombre précis de solution mais c'est pas mal d'avoir repéré e

m = e , unique solution
m > e : deux solutions
m >= 0 et < e : pas de solutions

m < 0 une solution

Voilà, c'est ce que j'avais réussi à déterminer.
Je crois que c'est ce que mon prof' nous demande.

Mais est ce que pour tout m>e il y a 2 solutions?
C'est évident, ou il faut le démontrer?

Démontrer avec la fonction qu'a posé Barbell

Donc en étudiant les variations de exp(x)-mx, j'peux montrer qu'il y a deux solutions?

f'(x) = exp(x) - m avec m strictement positif

f'(x) = 0
<=> exp(x) = m
<=> x = ln m

ln m est un minimum parce que f' est négatif avant puis positif après

f(lnm) = exp(ln m ) - ln(m) * m
= m - m * ln m
= m ( 1 - lnm )

donc si m = e , le minimum c'est 0 une solution

si m < e ( m strictement positif tout de même ) minimum > 0 , pas de solution

si m> e , minimum < 0, deux solutions

Ah ok, merci
J'ai compris maintenant ^^