Bonsoir,
j'ai essayé d'enlever la forme indéterminée de la limite lorsque x tend vers 1 de (xV(-ln(x)))/(x-1) mais je n'y arrive pas. J'ai simplifié en factorisant par x mais ça ne donne rien.
Merci pour votre aide.

(xV(-ln(x)))/(x-1) = x/(x-1) * V(-ln(x))

x/(x-1) tend vers 1(propriété des fontion rationnelle)
et V(-ln(x)) vers 0
donc la fonction tend vers 0
Si je me trompe pas c'est ça

La propriété pour les fonctions rationnelles n'est valable qu'en + ou -oo

f(x) = x V(-ln(x))
f(1) = 0

lim x->1 de (xV(-ln(x)))/(x-1) = lim x->1 de [f(x)-f(1)] / (x-1) = f'(1)

Ah oui c'est vrais
Dans ce cas tu peux toujours essayer d'encadrer la fonction et théoréme des gendarmes, mais je vois pas avec quoi encadrer

Mais ça n'aide pas vu que c'est une limite à gauche

Désolé j'ai oublié d'utilisé la question précédente : pour tout x appartenant à ]0;1], -ln(x) >= 1-x.

En fait je dois déterminé la dérivabilité en 1 de la fonction f(x)= V(-ln(x)) c'est pour ça que j'étudie la limite du quotient en 1.
Merci

Avec la règle de l'Hôpital, cela n'est pas immédiat ?

lim(x -> 1-) x * sqrt(-ln x) / (x - 1) = lim(x -> 1-) sqrt(-ln x) + 0,5 * sqrt(-ln x)^-1 = +inf.

Encore faut-il qu'il connaisse la règle de l'hôpital.

Sinon je te propose la méthode suivante:
Pour tout x appartenant à ]0;1[, on a:
-ln(x) > 1-x
V(-ln(x)) > V(1-x)
V(-ln(x)) / (x-1) > V(1-x) / (x-1)
V(-ln(x)) / (x-1) > 1/ V(1-x)
xV(-ln(x)) / (x-1) > x / V(1-x)

Or lim x / V(1-x) = +inf quand x -> 1-

D'où le résultat

Ok merci mais V(1-x) / (x-1) c'est égal à -1/ V(1-x) non et pas 1/ V(1-x)
Si c'est ça ça veut donc dire que la fonction n'est pas dérivable en 1?
Merci

svp

Oula en me relisant je me suis rendu compte d'une double erreur:

On a toujours:
V(-ln(x)) > V(1-x)

On peut diviser par x-1, sauf qu'on a x-1 < 0 ! (sur ]0,1[).
On a ainsi:
V(-ln(x)) / (x-1) < V(1-x) / (x-1) (1e erreur).

Puis comme tu l'as fait remarquer, on a V(1-x) / (x-1) = -1/ V(1-x).

Donc:
xV(-ln(x)) / (x-1) < -x / V(1-x)

Et on a lim -x / V(1-x) = -inf (quand x -> 1-).

Donc ta fonction tend vers -inf en 1-.

Ah ouais merde, ma dérivée est fausse, j'ai mal appliqué la composition.

lim(x -> 1-) x * sqrt(-ln x) / (x - 1) = lim(x -> 1-) sqrt(-ln x) - 0,5 * sqrt(-ln x)^-1 = -inf.

Ok merci beaucoup, mais pourquoi faut il étudié la fonction en 1- Ce qui veut dire que l'inégalité l'inégalité je l'a fait sur l'intervalle ]0;1[ et non ]0;1] ?

Tout simplement parce-que pour x > 1, on a -ln(x) < 0 donc la fonction n'est pas définie.

Maintenant, on a choisi de te le faire spécifiquement étudier quand x tend vers 1 (par valeurs négatives donc) car le dénominateur s'annule pour la valeur 1, ce qui laisse fortement présager de la présence d'une asymptote verticale.