Bonjour à tous. J'ai un exercice noté à faire en math, et j'éprouve quelques difficultés, bien que je sache répondre à quelques questions. Voici l'énoncé :
( je précise que pour tout l'exercice, chaque signe > sera supérieur ET égal, mais je ne connais pas le symbole... )

" n est un entier naturel fixé et t un nombre réel positif. On note (Bn) l'inégalité : (1+t)^n > 1 + nt.

1) Vérifier que (B0) et (B1) sont vraies. Attention à bien rédiger... "

Ici, voilà ce que j'ai écrit :
- (B0) : (1+t)^0 = 1 ; or 1+0t = 1, donc (1+t)^0 > 1+0t.
- (B1) : (1+t)^1 = 1+t ; or 1+1t = 1+t, donc (1+t)^1 > 1+1t

Donc (Bn) : (1+t)^n > 1+nt est vraie pour n=0 et n=1.

Est-ce bien rédigé ?

" 2) On suppose n > 2 et on considère sur [0, +infini[ la fonction f définie par : f(t) = (1+t)^n - 1 - nt.
a] Calculer f'(t) et f''(t) "

f'(t) = 1n(1+t)^n-1 = n(1+t)^n-1 - n.
f''(t) = n(n-1)(1+t)^n-2.

" b] Montrer que, pour tout t > 0, on a f'(t) > 0.
c] En déduire l'inégalité (Bn). "

Ici, je bloque quelque peu. Je fais un tableau de variation, où t est la variable, compris dans [0, +infini[.
En premier, j'étudie le signe de f''(t) qui est positif sur [0, +infini[. Je peux en déduire que f'(t) est strictement croissante sur cet intervalle.
Puisque f'(t) est strictement croissante sur cet intervalle, je peux en déduire le signe de f'(t) qui est positif, puis les variations de f(t) qui est strictement croissante, puis le signe de f(t) qui est positive sur [0, +infini[.
J'en conclus que l'on a, pour tout t > 0 et n > 2, f'(t) > 0 sur [0, +infini[. De plus, (Bn) > 0, t > 0 et n > 2, ce qui équivaut à dire que (1+t)^n - 1 - nt > 0.

Voilà, mais n'est-ce pas trop simpliste de faire ce tableau de variation ?

On me demande ensuite de " préciser la position de Cf par rapport à sa tangeante en 0, avec f(t) = (1+t)^n ". Et là, je calle, c'est la dernière question.

Pour ceux qui auraient eu le courage de lire, puissiez-vous m'aider à vérifier mes réponses et m'aider à me donner une piste pour la dernière question ?
Merci d'avance.

Je viens de tout lire, assez brièvement

Le 1) me parait correcte à vu d'oeil, je vois pas ce que ton prof attend par "bien rédiger", il doit y avoir une astuce ou un piège ou je sais pas quoi
Je ne sais pas si tu l'a rédigé tel quel sur ta copie, mais je crois que c'est plus préférable d'aller à la ligne.
Du genre:
(B0) : (1+t)^0 = 1
Or 1+0t = 1
Donc (1+t)^0 > 1+0t

(évite les points à la fin, on pourrait le prendre pour un signe mathématique)

Fin bref osef

2)
a)C'est ça, mais il faut bien préciser l'ensemble de déf. sur ta copie.
Je crois que tu as oublié de dériver le n pour f second, regarde les crochets:
f'(t) = 1n(1+t)^n-1 = n(1+t)^n-1 - [n]
f''(t) = n(n-1)(1+t)^n-2 [- 1]

b) j'ai pas trop regardé, tu dois avoir bon

c) pareil que b)

Pour étudier la position de Cf (la courbe représentative de f, hein?) par rapport à sa tangente en 0, ben tu étudies le signe de f - sa tangente.

T'as l'équation de la tangente en 0:
f'(0)(t-0)+f(0)
Tu la développes

Puis t'as l'équation de f: f(t) = (1+t)^n

A toi de jouer!

Je te remercie.

" Je crois que tu as oublié de dériver le n pour f second, regarde les crochets:
f'(t) = 1n(1+t)^n-1 = n(1+t)^n-1 - [n]
f''(t) = n(n-1)(1+t)^n-2 [- 1] "

n = constante, non ? La dérivée d'une constante n'est-elle pas égale à 0 ?

Up... ?