Bonsoir, voici le dernier exo de mon DM (rassurez vous je ne m'y prend pas la veille au soir il est pour vendredi) dans lequel je ne comprend pas vraiment la dernière question :

Soient p et q deux nombres naturels premiers. Notons Z/pZ par Zp.
Montrer qu'il existe un morphisme unitaire d'anneaux f : Zp[X]->Zq[X] si et seulement si p=q.

Seulement, morphisme unitaire ?
Un morphisme, c'est bien si f(x+y)=f(x)+f(y)
et f(x*y)=f(x)*f(y) ?
Je ne vois pas en quoi cela m'aide pour commencer ^^
Si ce n'est que dans l'absolu, il y a p² couple (x,y) dans Zp, donc si f(x+y)=f(x)+f(y) il doit y avoir p² couples (f(x),f(y)), mais je ne suis pas vraiment sûr de ça, ni de la rigueur de ce raisonnement'^^

Pour avoir un morphisme unitaire, en plus des deux conditions que tu as mentionnées, il faut et il suffit que l'image du neutre multiplicatif de Zp soit le neutre multiplicatif de Zq (un morphisme unitaire ne peut donc être défini qu'entre deux anneaux unitaires).

Pour la démonstration, la condition suffisante est triviale.
Pour la condition nécessaire, prouver p=q revient à prouver que le morphisme est bijectif. Tu peux prouver assez facilement qu'il est injectif en étudiant son noyau, qui est forcément nul par le théorème de Lagrange. La surjectivité est également rapide à obtenir en remarquant que tout élément k de Zq est égal à f(k.1p), où 1p est le neutre multiplicatif de Zp.

Tout d'abord merci de m'aider^^ j'ai lu rapidement et apparemment le théorème de Lagrange parle de Cardinal, l'ennui c'est que je n'ai jamais vu ce théorème, et que je ne connais pas non plus le terme "noyau". De même pour la surjectivité a dire vrai, je ne comprend pas pourquoi tout élément de k est égal a f(k.1p), si tu peux m'éclaircir pour mettre ça a mon niveau ça serait super, sinon merci je vais tenter de trouver des explications sur tes indications^^

Bon alors j'ai regardé un peu, le noyau en fait c'est l'ensemble des applications tel de A vers B tel que f(x)=0 avec x appartenant a A c'est bien ça ?
Mais comme A et B sont des corps (puisque p et q sont premiers), d'après Wikipedia tout morphisme de corps est injectif...
Soit, mais j'me vois mal sortir ça en dm sans comprendre, alors encore moins le ressortir au partiel^^ M'enfin ça résout le côté injectif du morphisme^^
Pour la surjectivité, je vois toujours pas'^^
Et enfin pour les deux règles que je connaissais, bah je vois pas non plus comment le montrer, ni même si je dois le montrer, mais je ne suis pas sur =/

Mais là tu cherches un morphisme entre les anneaux de polynômes Zp[X] et Zq[X] non ?

Euh^^
Je t'avouerai que je ne sais même pas d'où sort la question, disons que notre prof de math est assez... spéciale, et je pense que ça fait parti des questions "un peu plus dur" que celles qu'on voit en cours.
L'énoncé me demande juste de prouver qu'il existe un morphisme unitaire d'anneaux f :Zp[x] -> Zq[x] ssi p=q.
N'ayant jamais vu la notion de morphisme auparavant ça me parait un peu obscur comme énoncé^^
C'est pour ça que la seule chose qui me venait a l'esprit c'est que vu que
"f(x+y)=f(x)+f(y), Zp et Zq doivent avoir le même cardinal, ce qui n'est possible que si p=q"
Mais c'est loin d'être rigoureux (et loin dtre juste je suppose =/ )

Alors tout d'abord, Z/pZ et Z/qZ sont bien des anneaux, lorsqu'ils sont munis d'une opération d'addition et de multiplication. Je pense que tu as dû voir ceci en cours.
Cela signifie, que si tu prends deux éléments a et b dans Z/pZ, alors a+b est dans Z/pZ, et de même a.b est dans Z/pZ.
En outre, ceux-ci sont bien unitaires parce qu'ils contiennent l'élément neutre de la multiplication, à savoir ici la classe de 1 respectivement modulo p et q.

Un morphisme unitaire d'anneau entre ces deux anneaux, c'est donc une application f : Z/pZ-->Z/qZ qui vérifient les propriétés suivantes :
f(a+b)=f(a)+f(b)
f(ab)=f(a)+f(b)
f(1)=1
En ayant bien conscience que ces deux 1 ne sont pas les même éléments : ce sont respectivement l'élément neutre de Z/pZ et celui de Z/qZ.
Cette dernière propriété est ce qui définit le caractère unitaire de ton morphisme, les deux premières définissent le morphisme d'anneau.

Maintenant reste à démontrer la propriété elle-même, mais l'idée te semble-t-elle claire comme cela?
Pour la condition nécessaire, suppose que le morphisme existe et montre que tu as nécessairement p=q (par l'absurde par exemple)
Pour la condition suffisante, prends p=q et construis un tel morphisme de la façon la plus "naturelle" possible.

J'ai fait une petite erreur, dans ma deuxième propriété du morphisme, j'ai écrit :
f(ab)=f(a)+f(b)
il fallait "bien sûr" lire :
f(ab)=f(a).f(b)

Oui c'est un peu plus clair merci^^
Mais encore un doute, l'élément neutre il l'est vis a vis de la multiplications ou de l'addition ? Ou encore faut il que la condition soit vraie pour les deux ?

Damned, c'était des polynômes j'avais pas vu
En fait ça change pas grand-chose, tu peux ne raisonner que sur les polynômes constants pour obtenir le résultat

Si tu supposes p<q, alors tu ne pourras jamais atteindre la valeur (q-1) vu que f(k)=k modulo p qui est strictement inférieur à p-1, donc à q-1. C'est débile vu que normalement (q-1) est égal à f((q-1).1p).

Si tu supposes p>q :
p n'est pas divisible par q vu qu'il est premier. On note r le reste de la division euclidienne de p par q (r>0), k le quotient.
f(p.1p)=f((qk+r).1p)=f(0p)=0q
Comme on a f(q.1p)=q.1q=0q, alors f(p.1p)=f(r.1p)=0q=r.1q.
Ceci est impossible vu que 0<r<q.

Donc p=q.

Ah ouip j'ai été imprécis excuse moi. Pour le morphisme, c'est uniquement le neutre pour la multiplication (noté 1, le neutre de l'addition étant noté 0) qui doit être tel que f(1)=1.
En réalité, on ne l'impose pas pour 0 parce que cela découle déjà des autres propriétés :
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0

Bibi907 Donc là tu es parti du fait qu'un tel morphisme existe, et tu as démontré qu'en supposant p=/=q c'était impossible c'est bien ça ?
Mais dans mon exercice je dois montrer l'existence de ce morphisme non ?
Sinon je commence a mieux comprendre ce que tu me disais au début par rapport a f(k.1p) ^^ même si ton raisonnement m'a demandé plusieurs minutes de réflexions'^^

Oui c'est ça j'ai prouvé que s'il existe un morphisme, alors p=q.
Pour l'autre sens, il te suffit d'exhiber un morphisme étant donné que p=q. Pas besoin d'aller chercher bien loin, l'identité fait l'affaire.

De toute façon n'importe quel morphisme de la forme f(x)=kx fait l'affaire non ? (j'essaye de mieux assimiler les morphismes^^)

Non vu qu'il faut avoir f(1p)=1q.

Ah oui pas faux^^
En résumé je dois déjà dire que :
Soit f un morphisme unitaire de Zp vers Zq,
on a nécessairement f(a.b)=f(a)*f(b) et f(1p)=1q <=> f(k*1p)=k*1q=k, de supposer p=/=q et de montrer que cela est impossible (en m'inspirant de ce que tu as déjà fais^^) ce qui prouve donc que si il existe, alors p=q,
puis je conclu en disant que si p=q, on prend f:Zp->Zq / f(x)=x
Puis je vérifie les trois propriétés a savoir :
f(a+b)=f(a)+f(b), f(a*b)=f(a)*f(b) et f(1p)=1q (trivial puisque p=q)
Et j'ai donc l'équivalence c'est bien ça ?

Oui c'est ça.

Merci beaucoup tu me sauves la vie^^ Non pas parce que le DM est obligatoire (vu qu'il est facultatif^^') mais parce que ça m'insupporte de ne rien comprendre à ce qui se passe en cours, je vous remercie beaucoup toi et yaya90 pour votre patience et pédagogie ^^ bonne soirée =)