Bonjour, je suis en pleines révisions pour mon devoirs de Lundi.

Je bloque sur le minimum (ou le maximum) d'une fonction.

Je suis sur un exo d'entrainement, il me donne la fonction suivante :

F(x) = x + 1/x

Je dis qu'elle est définie sur R*.

Il me demande ensuite d'étudier sa parité.
On trouve qu'elle est impaire.

Après, et c'est là que j'ai un problème :

2) Montrer que la fonction f admet un minimum sur )0;+infini(.

Donc je dis que pour tout x appartient à R*, A(à l'envers)x appartient à )0 ; +infini (.

Et qu'il faut montrer que f(x) - m > (ou égal) 0.

f(x) - m = x+1/x - m
= x^2+1/x - m

Mais je n'arrive pas à aller plus loin. Comment étudier le signe cette expressions sans connaitre m ?

Merci !

Etudie les variations de la fonction sur ]0,+infini[.

Je peux dériver ?

Oui, la fonction est bien dérivable sur ]0,+infini[.

En fait, ça ne sert pas à grand chose de dériver.

En poursuivant : j'obtiens :

f(x) - m = x^2 - mx +1 / x

A numérateur, j'ai un polynôme.

Mais je ne vois pas comment étudier les variations sans connaitre m. Le discriminant ne peut être calculer, impossible de déterminer les variations.

Ou alors, je loupe quelque chose ...

Je ne vois pas pourquoi tu te compliques la vie comme ça.
En plus tu as écrit x+1/x - m = x^2+1/x - m, ce qui est faux.

f'(x) = 1-1/x²
f'(x)=<0 sur ]0,1], f'(x)>=0 sur [1,+infini[. Y'a un minimum atteint en x=1 qui vaut f(1)=2.

Merci beaucoup Prauron.

Mais x+(1/x) et x^2+1/x sont des fonctions parfaitement équivalentes, non ?

x + 1/x = (x² + 1)/x oui, si c'est ce que tu voulais dire. Mais n'oublie pas les parenthèse alors.
Par contre ne dis pas "équivalentes" mais "égales", parce que "équivalentes" ça veut dire autre chose.

J'ai un dernier problème :

4) Soit a un réel tel a > = 0.

a) Montrer que sur 0;+inf l'équation f(x) = a est une équation du second degré qui possède au moins une solution.

Pas de soucis : On trouve x^2-ax+1 >= 0

Delta = a^2-4 Or a >=2 donc Delta >= 0.

b) Déterminer en fonction de a, les solutions de l'équation f(x) = a

x0 = a/2

x1 = a-Vdelta/2 x2 = a+Vdelta/2.

c) Démontrer que pour tout a>2, les solutions sont strictement s positives.

Comment le démontrer pour x1 ?

"Soit a un réel tel a > = 0."
"Or a >=2"

Je suppose que c'est a>=2.
Pour la première solution c'est pas ça.

Oui, tu as bien supposé.

xo n'est pas bon ?

Admettons que a=2

Delta = 0. Donc x0 = -b/2a

Soit x0 = a/2, non ?

Si a=2 y'a une seule solution et c'est ça effectivement.
Mais dans le cas général les solutions sont :
x1 = (a+V(a²-4))/2 et x2 = (a-V(a²-4))/2

Oui exact.

Je te remercie.

Mais j'ai encore une ultime question. ^^

d) Montrer que ces solutions sont symétriques par rapport à a/2.

Les solutions sont symétriques par rapport à a/2 signifie que a/2 est le milieu de [x1,x2]. Il suffit donc de vérifier que (x1+x2)/2 = a/2.

Je trouve juste a moi.

Car les V(a^2-4) s'annulent.

Il reste a+a/2 = a.

Là tu as juste fait la somme des racines.

Euh ouais mais x1 et x2 sont bien les racines ...

Il faut montrer que (x1+x2)/2 = a/2. Toi tu as calculé x1+x2, normal que tu trouves a eu lieu de a/2.

au* lieu

Ah oui, je suis con ...

Merci beaucoup en tout cas de m'avoir aidé tout au long de mon exercice.