Bonjour, on va bientot etre interrogés et j'aimerais revenir sur un point de cours que je n'ai pas vraiment compris.

En fait ca se passe dans l'anneau Z/nZ...

Le théoreme du cours dit que si f est un morphisme d'anneaux de Z vers Z/nZ x Z/mZ avec m et n premiers entre eux
associant k à ( Gn(k), Gm(k) )

(Gp est l'application canonique qui, à tout k associe sa classe d'equivalence sur pZ)

alors il existe un isomorphisme d'anneaux g de Z/nmZ vers Z/nZ x Z/mZ

Et le point sur lequel je bloque est une remarque du cours :

"Si m et n ne sont pas premiers, alors la propriété est fausse. Les groupes additifs Z/nmZ et Z/nZ x Z/mZ ne sont meme pas isomorphes : le premier contient un élément d'ordre nm alors que l'ordre de tout élément du second est un diviseur du PPCM de n et m"

En fait c'est le terme "diviseur du PPCM" qui me gene : je ne vois pas pourquoi...

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Si on repart de la fonction f de la propriété (sans que m et n soient premiers entre eux) :

ker f est engendré par les éléments de Z A la fois multiples de m et de n.

Donc par PPCM(m,n)Z

Grace au théoreme de factorisation : je peux trouver un isomorphisme de Z/PPCM(n,m)Z vers Z/nZ x Z/mZ

Et donc... que vient faire l'histoire du "diviseur" dans l'ordre d'un element "a" de Z/nZ x Z/mZ ?

Désolé si j'ai fait des fautes, j'essaie de bien comprendre en meme temps.

TRES Bonne question.

Pourquoi tu peux trouver un isomorphisme ?

Y'a combien d'elements dans Z/nZ x Z/mZ ?

1. HommeCoquin Voir le profil de HommeCoquin
2. Posté le 15 février 2010 à 15:27:43 Avertir un administrateur
3. Pourquoi tu peux trouver un isomorphisme ?

Je sais pas, je pensais .. En tout cas il est injectif.

1. Planaria Voir le profil de Planaria
2. Posté le 15 février 2010 à 16:00:02 Avertir un administrateur
3. Y'a combien d'elements dans Z/nZ x Z/mZ ?

nm si n et m sont premiers entre eux non ?

(vu que le theoreme dit qu'il existe un isomorphisme de Z/nmZ (qui possede nm elements) sur Z/nZ x Z/mZ.. )

C'est dur.

Ah ca doit venir du theoreme de Lagrange...

Bon ben merci, je vais essayer de mieux comprendre.

Nul besoin de Lagrange ici.
Si tu as k le ppcm de m et n, et (a,b) élement de Z/nZ x Z/mZ
alors (ka,kb)=(0,0) (ka est multiple de n et kb est multiple de m)
Ainsi l'ordre de (a,b) est inférieur ou égal à k, qui est lui même strictement inférieur à mn car m et n ne sont pas premiers entre eux.
Tu as donc un élement d'ordre mn dans Z/nmZ mais aucun dans Z/nZ x Z/mZ
Il ne peut y avoir d"isomorphisme entre les deux (par simple conservation de l'ordre).
Après c'est sûr qu'en considérant le sous groupe engendré par (a,b) qui est cyclique, l'ordre de (a,b) divise k par le théorème de Lagrange, mais ce n'est pas nécessaire ici.

(Et il faut considérer le sous groupe engendré par (a,b) comme un sous groupe du groupe engendré par (1,1), qui lui est d'ordre k, pour pouvoir utiliser Lagrange).

1. hello_moto_ Voir le profil de hello_moto_
2. Posté le 15 février 2010 à 16:28:35 Avertir un administrateur
3. Nul besoin de Lagrange ici.

Si tu as k le ppcm de m et n, et (a,b) élement de Z/nZ x Z/mZ
alors (ka,kb)=(0,0) (ka est multiple de n et kb est multiple de m)
Ainsi l'ordre de (a,b) est inférieur ou égal à k, qui est lui même strictement inférieur à mn car m et n ne sont pas premiers entre eux.
Tu as donc un élement d'ordre mn dans Z/nmZ mais aucun dans Z/nZ x Z/mZ
Il ne peut y avoir d"isomorphisme entre les deux (par simple conservation de l'ordre).
Après c'est sûr qu'en considérant le sous groupe engendré par (a,b) qui est cyclique, l'ordre de (a,b) divise k par le théorème de Lagrange, mais ce n'est pas nécessaire ici.

Mais sans utiliser ce theoreme, on prouve juste que l'ordre de (a,b) est inferieur ou egal à k ? ou aussi que c'est un diviseur de k ?

Comment sait on aussi que l'ordre de (1,1) est egal à k ?

Merci.

Ca a l'air dur la fac.

AppleMinis, c'est principalement pour te foutre de moi que tu as crée ce topic ?

Sans utiliser le théorème de Lagrange, on a juste que l'ordre de (a,b) est STRICTEMENT inférieur à k (sinon ca ne sert à rien).
L'ordre de (1,1) est le plus entier k tel que (k,k) soit dans Z/nZ x Z/mZ.
En somme, c'est le plus petit entier k divisible à la fois par m et n : k=ppcm(m,n)

1. stellaire2 Voir le profil de stellaire2
2. Posté le 15 février 2010 à 17:55:48 Avertir un administrateur
3. AppleMinis, c'est principalement pour te foutre de moi que tu as crée ce topic ?

Ca veut dire quoi ça ?

Son exercice est d'un niveau prépa, je suis sûr qu'on ne nous demanderait jamais ça à la fac

T'es vraiment stupide toi

C'est un exo bateau, béta. Sérieux va te pendre Stellaire.

En fac, on fait de l'algèbre linéaire, mais on se limite seulement aux systèmes linéaires, espaces vectoriels, et matrices.

La fac ça s'arrête pas là où tu vas la terminer, à savoir en L1...

Non, je continuerais en L2 l'année prochaines, et on fera surtout de l'analyse élémentaire

N'importe quoi !