slt,je suis un peu perdu,car il faut demontré que les ensembles sont des ensembles fermé et compact de R² :

{(xy)€R² : x² + 2y = 2}

{(x,y)€R² : e^(x²+y²) =< 5}

Tout compact est un fermé, donc fermé et compact <=> compact.
R² étant un espace de dimension finie, les compacts sont les fermés bornés.
Ces deux ensembles sont clairement fermés : si tu prends une suite de points convergente dans l'un de ces deux ensembles, leurs limites vérifient les conditions d'appartenance à ces deux ensembles (par passage à la limite).
Pour l'aspect borné, le second ensemble l'est : x²+y² ne peut dépasser la valeur ln(5). Par contre le premier ne l'est pas.
Donc 1er ensemble = fermé non borné.
2nd ensemble = fermé borné, donc compact.

ok bibi mais tu m'as eclairé un peu mais j'ai un peu de mal avec ces notions
par exemple si je suis ce que tu as dit alors sqrtx*sqrty >= x+1 est donc un ensemble fermé car il ne peut etre inferieur à x+1 et le fait qu'il soit fermé entraine le fait qu'il soit compact c'est bien ça

Oh là doucement
Déjà évite de dire "l'ensemble ne peut être inférieur à x+1", ça le fait pas. Faut s'exprimer rigoureusement en maths.

Après l'ensemble A={(x,y) de R², sqrt(x)sqrt(y) >= x+1} est en effet un fermé. Pour le démontrer, c'est comme pour les deux autres ensembles, il suffit de prouver que toute suite convergente de A converge dans A. Si (xn,yn) est une suite de A convergeant vers (x,y), alors pour tout n :
V(xn)V(yn)-xn >= 1, donc V(x)V(y) >= x+1 (par passage à la limite).

Par contre le fait d'être fermé n'entraîne absolument pas le fait d'être compact. Il y a essentiellement deux caractérisations d'un ensemble compact K :
- Toute suite de K admet une valeur d'adhérence.
- De tout recouvrement de K par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Tout compact est un fermé borné, par contre la réciproque n'est vraie qu'en dimension finie.