Bonsoir.

On a une tente en forme de pyramide ayant comme base un polygone à 7 côté. Ainsi les faces latérales sont des triangles et au sommet de cette pyramide il y a donc 7 angles.
Prouver que la somme des mesures des 7 angles au sommet de la pyramide est inférieur à 2Pi.

Je suis en Première, et je sais pas trop comment commencer Merci.

7 triangle isocèles

Nan, pas forcément, c'est ça le problème.

Ça me paraît assez dur à montrer, en tout cas de manière rigoureuse ! C'était dur la première S ^^ ( ça remonte à 5 ans pour moi.. )

En tout cas pour le montrer "avec les mains", on voit bien que si tu "aplatis" ta pyramide, tu trouves un truc comme ça :
http://er.uqam.ca/nobel/c3410/GQfig13.gif
et donc que la somme des angles au sommet est inférieure à 2Pi

Après pour démontrer en maths je sais pas trop..

Arf

Tiens c'est expliqué là :
http://serge.mehl.free.frr/exos/pyra_angles_sommet.html

Bon courage :D

Ouais je les vu, mais je comprends pas tout à vrai dire

Je l'ai*

Voici comment je procèderai :
D'abord, prendre une pyramide plate.
La somme des angles est égale à 2pi (faire un dessin)
Dire ensuite que quand le sommet gagne en hauteur, la longueur des arrêtes qui montent est égale à racine de ( longueur initiale² x hauteur² )
Donc, ces longueurs augmentent.
Ensuite, d'après alkashi, tu as la relation entre : l'arrête au sol (BC), et les deux arrêtes en l'air (AB et AC) qui est :
BC² = AC² + AB² - 2 cosA ABxAC
Tu as ensuite BC² = constante, donc AC² + AB² - 2 cos A ABxAC est constant
Là c'est plus délicat, ca me parait mal rédigé, mais voici l'idée : tu peux dire que quand la longueur augmente, tu as d'un coté deux termes qui sont au carré, et deux termes à droite à la puissance 1, donc cos A doit augmenter, l'angle doit diminuer.
Donc quand la hauteur augmente, l'angle diminue, quand la hauteur augmente, l'angle diminue sous les 2pi.

Sinon, voici une preuve de la deuxième partie (à partir de alkashi) plus rigoureuse :
Décomposons le triangle d'une face en deux triangles rectangles, ceci en tracant la hauteur passant par A.
Notons le point créé I.
On a tan BAI = BI/AI.
Or BI est constant, et AI augmente, là encore en utilisant pythagore et la formule avec la hauteur et la distance du centre de la pyramide à I, donc la tangente BAI diminue : BAI diminue avec la hauteur.
De même pour CAI.
Les deux angles diminuent, donc l'angle A (total) diminue, et ceci pour tous les triangles, donc c'est bien inférieur à 2 pi.

Mais c'est chaud à trouver ça pour un élève de première S

C'est niveau 3ième !

Ah ok lui

Stop ton fake gros, ce truc c'est plus que niveau troisième

La "vrai" démo étant celle-là http://serge.mehl.free.frr/exos/pyra_angles_sommet.html

je ne pense pas qu'un troisième trouverais

Ma démo est tout à fait rigoureuse..
Et n'utilise que des trucs de base sur la trigo et pythagore !

Je ne critique pas ta démo, mais il le trouver tout ça "d'après alkashi,", je sais pas qui c'est lui. Et la démo du site me semble plus complexe, pourquoi ?

Alkashi en gros c'est Pythagore généralisé : pu besoin d'un angle de Pi/2.

Pourquoipasgagné : alkhashi c'est un truc qu'on ne voit qu'en seconde, et que personne n'utilise, donc sûrement pas niveau troisième non.

En 1ère même. ^^

Non, vous avez raté un truc.
J'ai refait la partie avec alkashi avec les tangeantes, ca donne ca:

- Commençons par étudier la pyramide à n cotés, mais plate, et notons A le sommet de cette pyramide (qui n'en a pas en réalité car elle est plate), et A' le projeté de ce sommet sur le plan de base (autrement dit, si A(x;y;z) alors A'(x;y;0)
La somme des angles est égale à 360°
- Ensuite, notons B et C les sommets d'un triangle, constituant une face. Notons I l'intersection du segment BC et de la hauteur de ABC passant par A. On a AI² = A'I² + A'A². A'A étant strictement positif, AI > A'I.
De la même manière, AB > A'B, et AC > A'C, et AI, AB et AC augmentent avec la hauteur de la pyramide. De la même manière encore, on peut montrer la même chose pour toutes les autres faces.
- On a enfin BI et CI = constante. tan BAI = BI/AI. AI est constant, et BI augmente avec la hauteur, donc la tangente BAI diminue avec la hauteur. L'angle BAI diminue avec la hauteur, car tan(x) est croissante.
De même,l'angle IAC diminue avec la hauteur, on en conclut que l'angle BAC diminue avec la hauteur. On montre la même chose pour toutes les autres faces.
- La somme des angles est égale à 360° pour une hauteur nulle, donc dès que la hauteur est strictement positive, la somme des angles est strictement inférieure à 360°