Salut je suis à la fac et j'ai raté pas mal de cours (grippe) que j'essaie de rattraper pendant les vacances.

J'ai un théorème qui dit dans mon cours que si

"f est morphisme de (Z,+) vers (G,*) ayant pour noyau un ensemble N contenant nZ alors il existe un unique morphisme de groupe g de Z/nZ vers G tel que f = g(l)

l étant l'application canonique de Z vers Z/nZ (qui associe un élément de Z à sa classe d'équivalence)

g est injective si N = nZ"

Après il y a quelque chose concernant l'ordre d'un sous groupe <a> de G (engendré par a, élément de G)

Cet ordre représente le cardinal de <a> qui peut donc être fini ou infini selon le nombre d'éléments.

On pose alors le morphisme de Z vers G
fa : a -> a^k avec k€Z

Et voici ENFIN mon problème

Si ker fa = {0} alors l'ordre de <a> est infini
sinon l'ordre de <a> est égal à n.

Comment obtient t-on cela ?

Ca me fait penser au théorème noyau image sauf qu'on travaille sur des groupes..

Donc finalement c'est dû à un théorème d'isomorphisme sur les groupes (isomorphisme de Z/nZ sur <a>)

- Dans le premier cas (Ker fa = {0}) : Z sera isomorphe à <a> donc <a> sera composé des éléments {a^(-n) ..., e, .. a^n) de cardinal et donc d'ordre infini.

- Dans le second, Ker fa = n non nul et Z/nZ sera isomorphe à <a> = { e, a , ... a^(n-1) } d'ordre n.
( Z/nZ étant composé des classes d'équivalences de 0 à n-1 ) )

Désolé de faire aussi long mais j'ai vraiment du mal ..

Donc en fait .. c'est juste pour savoir si mon raisonnement ou plutôt approche est bonne...

Merci

"Donc finalement c'est dû à un théorème d'isomorphisme sur les groupes (isomorphisme de Z/nZ sur <a>) "

C'est une question ..

Hélas, j'en sais strictement rien

ok merci quand même

J'ai un ami qui parle le kazakstan, il pourra t'aider !

J'en parlerai à mon chameau

C'est quoi ce raid d'abruti sur le C&D ?

C'est pas plutôt fa : k -> a^k ?

Comment est-ce que vous avez défini l'ordre ? Parce que l'ordre d'un élément a c'est le plus petit entier k tel que a^k = e et si cet entier n'existe pas on dit que l'ordre est infini. Mais l'ordre de l'élément a c'est aussi le cardinal de <a>.
De deux choses l'une, soit l'ordre de a est fini, égal à n, et dans ce cas <a> est isomorphe à Z/nZ, soit il est d'ordre infini et <a> est isomorphe à Z.
C'est facile à montrer tu considères l'application de Z/nZ dans <a> qui à classe de k associe a^k et tu montres que c'est un isomorphisme.

"Dans le second, Ker fa = n non nul "

Fais attention ça n'a pas de sens ça, le noyau c'est un ensemble (et même un sous-groupe), pas un élément. Si le noyau n'est pas réduit à {0} alors dans ce cas il est égal à nZ où N est l'ordre de a. Et après effectivement avec le premier théorème d'isomorphie tu montres que Z/ker fa isomorphe à Im fa, c'est à dire Z/nZ isomorphe à <a>. Mais bon c'est un peu compliqué de passer par ce théorème pour montrer ce résultat sur les ordres...

c'est ça https://www.jeuxvideo.com/forums/1-50-38626891-1-0-1-0-fac-rire-prepa-dut-bts-all-fac.htm

Ah c'est pour ça tous ces abrutis.

Merci Prauron.

J'ai fait des erreurs d'écriture

J'ai aussi des questions "bêtes" (je sature un peu)

- Comment prouve t-on que fa induit un isomorphisme de Z vers <a> pour n=0

- Et pourquoi si n est non nul, fa est surjective ?

(Je rappelle le contexte : fa : k -> a^k )

Ker fa = nZ (n fixé)

Ah en fait fa est toujours surjective

Bon ben merci ...

Tu disposes d'un morphisme fa : Z -> G , k -> a^k et tu as ker fa = nZ (n peut éventuellement être nul, dans ce cas fa est injective).
Le théorème d'isomorphisme dit que tu as alors un isomorphisme entre Z/ker fa (=Z/nZ) et Im(fa) (=<a> par définition de <a> !).
Si n non nul tu as donc <a> isomorphe à Z/nZ.
Si n est nul nZ = {0} et Z/{0} = Z. Donc <a> isomorphe à Z.
Ca répons à tes deux questions.

répond*

Oui fa est surjective par construction.

Ah merci, mais en passant par ce théorème j'avais compris.

Je voulais dire en n'utilisant pas ce théorème car il n'est pas écrit dans mon cours...

Dsl pour l'inconvénience.

1. Prauron Voir le profil de Prauron
2. Posté le 23 décembre 2009 à 17:52:56 Avertir un administrateur
3. répond*

Oui fa est surjective par construction.

Arf c'était juste ça ?

Quand on construit un morphisme d'un groupe dans un autre groupe, on fait toujours en sorte qu'il soit surjectif ou c'est juste une hypothèse imposée ?

En tout cas, ça répond à ma question.

Non en fait fa tel que tu l'as écrit, de Z dans G, n'est pas surjective, mais fa de Z dans <a> est surjective puisque tout élément de <a> s'écrit sous la forme a^k avec k dans Z.

"Quand on construit un morphisme d'un groupe dans un autre groupe, on fait toujours en sorte qu'il soit surjectif ou c'est juste une hypothèse imposée ? "

Non c'est pas toujours le cas mais souvent ils sont surjectifs par construction.

De toute façon en restreignant le groupe d'arrivée à l'image du morphisme (qui est toujours un sous-groupe du groupe d'arrivée), tu peux toujours avoir une surjection. (c'est ce qu'on fait dans le théorème d'isomorphisme d'ailleurs)

ah oui!

d'ac