J'ai un exo dont un petit détail me pose problème. Il s'agit, en utilisant les complexes, de trouver une expression des nombres S et S' qui ne fait pas intervenir une somme de n n termes avec:
S=1+cosx+cos(2x)+...+cos(nx)
S'=sinx+sin2x+...+sin(nx)

Il faut d'abord prouver que S+iS'= [1-exp((n+1)ix) ] / [1-exp(ix)]
Pas de problème, on S+iS' est une somme de terme consécutifs d'une suite géométrique.

Il faut ensuite mettre exp[((n+1)ix)/2] en facteur au numérateur et exp((ix)/2) au dénominateur pour trouver une expression de S et de S'.

On a le numérateur = exp[((n+1)ix)/2] * [[ exp[(-(n+1)ix)/2] - exp[((n+1)ix)/2] ]]
le dénominateur = exp((ix)/2) * [[ exp(-(ix)/2) - exp((ix)/2) ]]

On simplifie en utilisant le fait que :
e^a / e^b = e^(a-b)
e^iX - e^(-iX) = 2i*sinX

On trouve S+iS'=exp(nix/2) * [[ [sin((-n+1)x/2)] / [sin(x/2)] ]]

En écrivant exp(nix/2) sous forme trigonométrique on trouve
Re(S+iS')=

On trouve S+iS'=exp(nix/2) * [[ [sin(-(n+1)x/2)] / [sin(x/2)] ]]

En écrivant exp(nix/2) sous forme trigonométrique on trouve
Re(S+iS')= [cos(nx/2)] * [sin(-(n+1)x/2)] / [sin(x/2)]
Im(S+iS')= [sin(nx/2)] * [sin(-(n+1)x/2)] / [sin(x/2)]

Or, comme S et S' sont réels, S=Re(S+iS') et S'=Im(S+iS') et donc on a fini.

Sauf qu'en vérifiant à la calculette pour une ou deux valeur de n et de x, je tombe sur le bon résultat pour S mais pour S' je trouve toujours la même nombre en valeur absolue mais avec un signe différent. Et je ne vois pas où manque un 'moins' ou un sin(Pi+qqch) dans
[sin(nx/2)] * [sin(-(n+1)x/2)] / [sin(x/2)]

Je sais que ça n'est pas très clair, mais si quelqu'un à le courage de regarder.

Merci d'avance.

exp(nix/2) = cos (nx/2 ) + isin (nx2)

donc t'as plus qu'à prendre le cos pour la partie réelle et le sin pour la partie imaginaire

Je reviens dans une heure et demie je verrai là j'ai pas le temps :/

Erreur de signe... sin(-x/2) au dénominateur, pas sin (x/2). Ca m'énerve d'avoir bloqué sur un truc aussi nul. :/
Et puis je ne sais pas pourquoi je n'ai pas remarqué l'inversion de signe pour S.

Enfin c'est pas grave, désolé du dérangement...