Bonjour, on vient d'enchaîner y'a 2 semaines un cours sur l'algèbre linéaire, matrices etc ...

Et dans un TD à rendre je bloque sur un exo à la fin:

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et g€Gl(E)
Soit f:u -> gug^(-1)

Déterminer det(f) et Tr(f)

J'ai vraiment du mal en ce moment

Merci d'avance.

Et après on dit que la prépa c'est plus dur que la fac ...

J'en sais rien j'ai jamais été en prépa.

Mais si quelqu'un sait, donnez moi une piste car j'ai plus l'habitude d'utiliser les déterminants pour des matrices que sur des fonctions.. Et je trouve rien dans notre cours.

Je reviens ce soir. Remerci.

Pi

T'as corrigé le TD ?

Tu connais les propriétés classiques de la trace et du déterminant ? On va partir du principe que tu peux toujours exprimer un endomorphisme par une matrice (qui plus est a de bonnes chances d'être carrée vu que les dimensions de l'espace de départ et d'arrivée sont les mêmes).

Cette matrice "M" qui correspond à l'endomorphisme "m" possède un déterminant qui est identique pour toutes les bases de ton espace vectoriel. Ce qui est plutôt pratique ...

~ La trace est définie (pour les sales physiciens comme moi, pas les purs esprits mathématiques qui de toute façon s'ils veulent ramener leur science le feront) par la somme des éléments diagonaux d'une matrice ~

La principale chose à retenir c'est que on a Tr(AB) = Tr(BA)

~ Le déterminant, c'est plus compliqué, sa formule est un peu plus complexe (Wikipédia is your friend) mais la définition la plus simple restera de dire que c'est le produit des éléments diagonaux de ta matrice dans la base où ta matrice est diagonale (sinon, ça vaut 0).

on a de même, det(AB) = det(A)det(B)

(ce qui te permet de dire que det(Identité) = det(AA^(-1)) = 1 = det(A)det(A^(-1)).

Par conséquent, tu peux remarquer qu'un changement de base n'influera pas trop la valeur de ta trace ou de ton déterminant (à part si tu décides de prendre une matrice non inversible pour changer de base, ce qui serait débile).

Diablevert, les matrices non diagonalisables peuvent-elles avoir des déterminants non nuls ? La réponse est oui, à vrai dire, et dans ce cas il faut utiliser la vraie définition du déterminant (une simple matrice de rotation en dimension 3 est un bon exemple de matrice difficilement diagonalisable à déterminant non nul)

Donc, mon "(sinon ça vaut 0)" est parfaitement faux.

Désolé pour ça.

De toute façon t'as pas besoin de ça pour montrer que le déterminant est indépendant de la base choisie.
Il suffit de remarquer que det(P^-1AP) = det A (par la propriété que tu as rappelée).

J'aime bien l'expression "Diablevert"

C'est moi où personne n'a répondu à sa question ?