Bonjour j'ai un exo sur les suites :
Etudier la suite Un tq:
U_n+1 = 1 - (U_n)²
-1<U_0<1

Bon alors si on regarde vite fait la fonction f(x)=1-x², on fait un graph avec la 1ere bissectrice pour voir la suite des termes de Un. On voit que que la suite est convergente, quelque soit U_0 et si on appelle L cette limite, on voit aussi qu'une fois sur deux Un est "à gauche" de cette limite et donc l'autre fois à droite.

Donc je pense qu'il faut poser deux autres suites pour regarder les termes de Un "1 fois sur 2" :
V_n =U_2n
W_n = U_2n+1

Je voudrai mopntrer que ces suites sont adjacentes, or je n'arrive pas à montrer la décroissance/croissance de l'une comme de l'autre.

Bon déjà tu peux remarquer que tu as f([-1,1]) = [-1,1].
Comme U_0 est dans cet intervalle, alors tous les U_n y seront également.

Donc si la suite u_n converge, et qu'on note L sa limite, on a L qui appartient à [-1,1].

De plus, f étant continue, on doit avoir f(L) = L.
Si on résous cette équation, on trouve que les 2 solutions n'appartiennent pas à [-1,1], donc la suite diverge.

Les inégalités sont strictes, u_0 ne peut pas valoir -1 ou 1.

Et la suite est convergente ça j'en suis sûr.

Si tu prends u_0 = 0, tu vas avoir:
u_2n = 0 pour tout n
u_2n+1 = 1 pour tout n

cette suite est clairement divergente.

Quant aux bornes ça ne change rien, puisque f( ]-1,1[ ) = ]-1,1[.

La suite du raisonnement étant le même.

Lol, alors prends un papier. Fais la courbe y=1-x² (parabole de sommet 1)

trace la 1ere bissectrice. Maintenant prend U_0 n'importe où entre 1 et -1 (strictement !), tu dois savoir représenter une suite graphiquement non ? Eh bien elle est convergente.

Par contre pour la réponse je n'en sais rien Bon ca fait juste 3 min que je suis dessus aussi

quelqu'un a trouvé une piste ?

Si tu poses U_n = x, U_(n+2) = 1-(1-x²)² = -x^4+2x², et tu as donc à étudier V_(n+1) = -(V_n)^4+2(V_n)²