Bonjour à tous.

On me donne : 1/x + 1/x^2 + 1/x^3 + 1/x^4 = 0.

Il faut prouver que x < 0.

J'ai dit ceci :

Si x > 0, on aurait x^2k > 0 et x^2k+1 > 0, k € IN. D'où 2(1/x^2k+1 + 1/x^2k)> 0. De plus x est différent de 0, donc nécessairement, x < 0.

La rédaction de la preuve est-elle juste ?

Deuxièmement et finalement, je dois résoudre l'équation, et là ça coince... Par déduction évidente, je trouve que x = -1, car 1 + (-1) + 1 + (-1) = 0. Mais comment le montrer ?

Merci d'avance.

Pour le second, tu mets tout au même dénominateur, x^4 :
(x^4+x^3+x²+x)/x^4 = 0
Avec 0, valeur interdite. Ça donne :

x^4+x^3+x²+x = 0
x(x^3+x²+x+1) = 0
Tu as trouvé une solution : -1, donc on peut écrire :
x(x+1)(ax²+bx+c) = 0

Tu identifies et tu devrais pouvoir résoudre le trinôme ensuite.
Sans oublier que 0 est une valeur interdite.

Un grand merci pour ta réponse !
__________

" Tu as trouvé une solution : -1 "

-> faut-il la prouver, ou est-ce assez évident pour que je n'aie pas à la démontrer ? Car je n'ai aucune justification de ce résultat.

Puis tu en déduis x(x+1)(ax+bx+c) ; si j'ai bien compris, il s'agit en fait d'annuler l'un des facteurs ( avec x = -1 ) pour annuler le produit de x(x+1)(ax²+bx+c) ?

Si oui, je ne vois pas par quoi il faut remplacer ax²+bx+c...

Merci d'avance !

" Puis tu en déduis x(x+1)(ax+bx+c) "

faute de frappe, c'est bien x(x+1)(ax²+bx+c) !

En fait, quand on sait qu'un polynôme a une racine, on peut le factoriser par cette racine. Ici, il y en a 2 : 0 et -1, d'où le x(x+1) devant.
Pour justifier que -1 est une racine évidente, tu remplaces x par -1 et tu montres que ça s'annule.
Ensuite, le fait de trouver le polynôme ax²+bx+c te permettra de voir s'il y a d'autres racines dans l'ensemble considéré. Est-ce R ou C d'ailleurs
Le résoudre ne posera pas de problème majeur, il suffit de développer la forme factorisée et d'identifier.
Mais souviens-toi bien qu'on n'acceptera pas 0 comme solution, car c'est une valeur interdite.

" Ensuite, le fait de trouver le polynôme ax²+bx+c te permettra de voir s'il y a d'autres racines dans l'ensemble considéré. Est-ce R ou C d'ailleurs ? "

C'est dans R, je ne suis qu'en première. ^^
Et le problème est que je ne vois de polynôme dans aucune étape du calcul !

Sinon d'accord, et merci pour les infos, je te remercie.

Et, pour finir, lorsque l'on met tout au même dénominateur qui est x^4, n'obtient-on pas plutôt : (1+x+x²+x^3)/(x^4) ?

Ah, et cet exercice tiré d'un DM qui m'a été donné se nomme " SUITES ", peut-être peut-on le résoudre plus facilement à l'aide de formule sur les suites ?

Oui je me suis planté là-dessus.
Donc en fait ça fait x^3+x²+x+1 = (x+1)(ax²+bx+c) toujours avec 0 comme valeur interdite.
En identifiant, tu devrais trouver un polynôme ax²+bx+c qui n'a pas de solution dans R.