Salut.
J'ai un DM de spé maths à rendre impérativement pour mardi, d'après moi, afin qu'il compte pour le premier trimestre.
Notre prof, ne jugeant pas grave que ce devoir compte pour le second trimestre ne nous a pas fait le cours sur le théorème de fermat, ce qui fait que je suis bien démuni pour faire ce devoir.
Voici les questions sur lesquelles je bloque (j'ai fait tout le reste)

3)a) soit q un nombre premier impair, et le nombre A = (2^q)-1.
On prend pour p un facteur premier de A

Justifier que 2^q congru à 1 modulo P

b) Montrer que p est impair. J'ai pensé dire que p n'est pas égal à deux mais je sais pas comment faire.

c) Soit b tel que 2^b congru à 1 modulo p, b étant le plus petit entier non nulm vérifiant cette propriété. Montrer en utilisant 1 que b divise q, en déduire que b = q.

d) montrer que que q divise p-1, puis montrer que p congru à 1 modulo 2q

4) Soit A1 = 2^17 - 1
Liste des nombres premiers de la forme 34k + 1 ave k € N, 103, 137, 239, 307. En déduire que A1 est premier (j'ai pensé pouvoir le faire sans faire appel à la méthode de l'exo, mais ca sera saqué car ce n'est pas attendu)

Merci de votre aide !

svp !

3)a)p est un facteur de A

donc A=0 [p]
donc 2^q -1=0[p]
d'où 2^q=1 [p]

b) 2^q est pair pour q diffèrent de 0
or q est impair

donc A =2^q - 1 est impair

p est un facteur de A donc p est forcément impair sinon A devrait être pair

c)

Petit théorème de Fermat: si p est un nombre premier, alors pour tout entier a, alors a^p est congru à a (modulo p), donc p divise a^p-a

Dernier théorème de Fermat: pour tout entier n strictement supérieur à 2, il n'y a pas de nombres entiers positifs non nuls x, y et z tels que x^n + y^n = z^n

J'ai prouvé que b|q, comment prouver que b = q ?
Des idées pour la suite ?

Merci c'est rendu.