Je ne saisis pas bien la différence entre la différentielle et la dérivée d'une fonction

Je sais bien c'est quoi une dérivée, la pente de la tangente en un point, la mesure de la variation de y quand x varie.

Mais pour la différentiabilité, je ne vois pas la différence que ce soit à une ou plusieurs variables

La différentielle est égale à la dérivée lorsque tu te trouves avec une seule variable. Donc aucune différence si tu te trouves à une variable.

Si je te pose df, on appelle df différentielle si cette dernière s'exprime comme une combinaison linéaire de ses dérivée partielles.

df(x,y) = (df/dx).dx + (df/dy).dy

Sinon à une variable c'est la dérivée.

df(x) = (df/dx).dx

Les df/dx et df/dy sont des d ronds.
Sauf pour le dernier df/dx qui peut être mis en d droit puisque c'est pareil.

Donc si je te suis bien, la différentiabilité = notion de dérivée à plusieurs variables.

La somme des dérivées partielles = la différentielle

C'est pas pareil que le vecteur gradient

Merci pour ton aide.

Exactement on utilise différentielle lorsque l'on se trouve à plusieurs variables.

Non pas pareil.

Pas pareil parce que le gradient de ta fonction c'est un vecteur dont les composantes sont les accroissements infinitésimaux de chaque variable.

Par contre ! Si tu fais le scalaire de grad(f) avec dr, là c'est pareil.

Alors, c'est quoi le vecteur gradient

Si je te donne y = x²,
la différentielle = 2x donc.

Et si je te donne, z = 2x² + 4y
La différentielle = 4x + 4

dz = 4xdx + 4dy

Le gradient de f c'est un vecteur de composantes : (df/dx , df/dy, df/dz). Soit Nabla.f.
Le gradient tu l'utilises pour déterminer les coordonnées des points critiques qui se trouvent à l'annulation de celui-ci.

Sinon pour tes exemple, nan c'est faux.
Pour le premier : 2x.dx
Pour le second : 4x.dx + 4.dy

C'est une différentielle pas une dérivée totale !

La dérivée dite totale par rapport à une variable c'est : df/dx ou df/dy.
En gros pour l'exemple 1 par exemple ça fait : df/dx = 2x
Et l'exemple 2 : df/dx = 4x + 4.(dy/dx) et df/dy = 4x.(dx/dy) + 4

Je comprends toujours pas la notion de différentielle, graphiquement peut-être ça va mieux m'aider algébriquement.

Et pour la nature des points critiques, tu détermines les valeurs propres de la matrice Hessienne.

La différentiabilité est la généralisation de la dérivabilité pour les fonctions de plusieurs variables.
Quand tu as f, fonction d'une variable (à valeurs dans R) dérivable en a tu peux écrire :
f(a+h) = f(a) + f'(a)h + o(h)
Maintenant si f est une fonction de plusieurs variables à valeurs dans R différentiable en A (A appartient à R^n par exemple) tu peux écrire :
f(A+H) = f(A) + df(A)(H) + o(||H||)
df(A) est la différentielle de f en A et c'est une forme linéaire (c'est à dire une application linéaire à valeurs dans R)
On voit que c'est une généralisation puisque quand tu as une seule variable, la différentielle en a est simplement l'application qui à h associe f'(a)h.