Bonsoir, je dois prouver que x*Racine de x(2-x) est dérivable sur ]0;2[ et je ne sais comment faire.
Pourriez vous m'aider ?
Merci d'avance

Comme x est défini sur R, pour que la fonction soit définie sur ton intervalle, il faut que x(2-x) soit positif, car une racine carrée négative n'existe pas dans R.

C'est dérivable comme composée et produit de fonctions dérivables.
Par contre si l'intervalle était [0,2] tu ne pourrais pas utiliser cet argument puisqu'alors x(2-x) s'annulerait et la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

x-> x*Racine de x(2-x)

x->x est dérivable sur R

donc x-> x* V( x(2-x)) est dérivable sur l'intervalle de dérivabilité de x->V(x(2-x)

la fonction racine est dérivable sur ]0; + infini [

on cherche le signe de x->x ( 2-x )

x    -infini    0    2    +infini
x            -  0  +   +
2-x          +     +   -
x(2-x)       -     +   -

On veut x(2-x) > 0

donc cela correspond à l'intervalle ]0;2[

donc x->x*Racine de x(2-x) est dérivable sur ]0;2[

x -infini    0    2     +infini
x          -  0  +    +
2-x      +     +  0  -
x(2-x)   -  0  + 0  -
Un peu mieux le tableau de signe là