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Matrice petit demonstration

Islamabad
Islamabad
Niveau 4
07 novembre 2009 à 17:46:46

slt alors à partir de M.M.X AVEC X vecteur propre non nul et M une matrice idempotente, je dois prouver que la valeur propre lamdba = 0 ou 1 :(

jucaccia
jucaccia
Niveau 5
07 novembre 2009 à 20:24:55

Bonjour,

M est idempotente donc M²=M.

Soit a une valeur propre de M associée au vecteur propre X non nul (je prend a plutôt que lambda car plus simple à écrire).

On a MX=aX.

Ainsi de M²=M on a M²X=MX

M(MX)=aX
M(aX)=aX
a(MX)=aX
a(aX)=aX
a²X=aX

Comme X est non nul, on en déduis que a²=a donc a=0 ou a=1.

J'ai fait cette démo car je suppose que tu ne connais pas les polynômes annulateurs de matrices.

@+

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