Bonjour, j'ai un Dm de maths sur les nombres complexe à faire dont voici l'énoncé :

1)donner une forme exponentielle du nombre complexe 4(1+iracine3)

2) Trois nombres complexes z1.z2 et z3 ont pour produit 4(1+iracine3)
Leurs modules sont en progression géométriques de raison 1/2. Leurs arguments sont en progression arithmétique de raison 2pi/3.

De plus z1 a un argument dans l'intervalle ]0;2pi/3[

Déterminer une forme exponentielle de z1 z2 et z3.

Pour la première question j'ai trouvé 8e pi/3 pour la forme exponentielle

Ensuite pour la question 2 je trouve que le module de z1=4
et module de z2=2 et module de z3=1.

Par contre pour les arguments quelqu'un pourrait m'aider à les trouver car je ne vois pas comment faire?

Et bien si les arguments sont en progression arithmétique de raison 2pi/3.
On peut écrire ça comme ça :
arg(z1)+(2pi/3)arg(z2)+(4pi/3)arg(z3)

arg(z1)+(2pi/3)arg(z1)+(4pi/3)arg(z1) *

Ah c'est bon, voilà :
z1*z2*z3 = 4(i+V3)
arg(z1*z2*z3) = arg(4(i+V3))
On sait que : Les arguments de z1, z2 et z3 sont en progression arithmétique de raison 2pi/3.
Et on a : arg(z1*z2*z3) = arg(z1*z2)+arg(z3) = arg(z1)+arg(z2)+ arg(z3)
Donc : arg(z1)+arg(z2)+ arg(z3) = arg(z1)+(2pi/3)arg(z1)+(4pi/3)arg(z1) = arg(z1) (1+2pi/3+4pi/3)= (2pi +1)arg(z1)
D'où : (2pi +1)arg(z1) = arg(4(i+V3))
Bon, à toi de finir.

daichi...
comme d'habitude y a du n'importe quoi

reste aux identités remarquables jten supplie

Bon, ok, beh vas-y, fais l'exo.
Comme pour les modules, on fait :
|z1*z2*z3| = |4(i+V3)|
|z1|*|1/2 z1|*|1/4 z1| = 8
|z1|^3 * 1/8 = 8
|z1|^3 = 64
|z1| = 4, donc |z2| = 2 et |z3| = 1

On repart comme ça avec les arguments et c'est tout.
Ils sont en progression arithmétique de raison 2pi/3, donc : arg(z2) = (2pi/3) arg(z1) et arg(z3) = (4pi/3)arg(z1)

progression arithmétique ça te dit un truc?

Bon, je recommence :
z1*z2*z3 = 4(i+V3)
arg(z1*z2*z3) = arg(4(i+V3))
On sait que : Les arguments de z1, z2 et z3 sont en progression arithmétique de raison 2pi/3.
Et on a : arg(z1*z2*z3) = arg(z1*z2)+arg(z3) = arg(z1)+arg(z2)+ arg(z3)
Donc : arg(z1)+arg(z2)+ arg(z3) = arg(z1)+ 2pi/3 + arg(z1)+ 4pi/3 arg(z1) = arg(z1)+ 2pi/3 + 4pi/3 = 2pi + arg(z1)
D'où : 2pi + arg(z1) = arg(4(i+V3))
arg(z1) + 2pi = pi/3
arg(z1) = pi/3 -2pi
arg(z1) = -5pi/3
D'où : arg(z2) = -Pi et arg(z3) = -pi/3

On en déduit que :
z1 = 4exp(-i5Pi/3)
z2 = 2exp(-iPi)
z3 = exp(-iPi/3)

penelo, recopie, c'est clean.
Mon précédent post était un brouillon.
Je sens aussi ue Fonction-Affine va se la fermer car il ne trouvera rien à corriger.

Ah non, je pense qu'il y a une erreur quelque part.
Vu que arg(z1) est sur ]0;2Pi/3[ , peut-être que : arg(z1) = Pi/3

Ah ok

daichi vaut mieux pas que je la ferme parce que là la pauvre penelo

svp

En faisant 3arg(z1)+2pi=2pi+2k.pi

Je trouve arg(z1)=2pi/3
arg(z2)=4pi/3
arg(z3)=6pi/3 =2pi

Mais arg(z1) est dans l'intervalle ]0.2pi/3[ donc je doute que ce soit ça