Salut,

lim (x->0-) (1/(Arctanx))-(1/x)
(a gauche de 0)

Merci

Bonjour _Slaper_,

Tu as lu mon précédent message et as-tu réussi à montrer les inégalités demandées ?

Comme je suppose que c'est la suite de l'exo et que tu n'as pas encore vu les développements limités, je vais utiliser l'inégalité de ton précédent message.

Rappel : pour tout x<0, x<Arctan(x)<x-(x^3/3)

Je pose f(x) = (1/Arctan(x))-(1/x)

On a x-(x^3/3)=x(1-x²/3)
Ainsi si je prends -V3<x<0 a, on a x-(x^3/3)<0

Désormais je prends -V3<x<0, on a
1/(x-(x^3/3))<1/Arctan(x)<1/x (en prenant l'inverse dans l'inégalité(on a que des nombres <0)).

puis (1/(x-(x^3/3)))-1/x<f(x)<0
D'où après calculs x/(3-x²)<f(x)<0

Et tu conclus par le théorème des gendarmes que la limite en 0- de f est 0.

Il y a bien sûr d'autres méthodes.

@+

Oui j'ai montré les inégalités en dérivant Arctanx-x et Artanx+(x^3/3)-x, merci

Sinon dans le même exercice on me demande d'étudier le signe de f(x)=Racine cubique(x^3+3x) - x sur [0, +00[
Faut dériver ?

Rebonsoir,

Félicitations pour les inégalités

Pour étudier le signe de f(x) sur [0,+oo[, il ne faut pas dériver.
En effet si x>=0, on a x^3+3x >= x^3
Donc, je prends la racine cubique qui est une fonction croissante d'où racine cubique(x^3+3x)>=x donc f(x)>=0 sur [0,+oo[

Remarque : si tu veux le signe strict tu peux remarquer que
si x>0 alors f(x)>0 en mettant des inégalités strictes plus haut(racine cubique est strictement croissante).

Voilà, si tu as d'autres questions, n'hésite pas

Bon je vais faire mon lourd mais j'ai une autre question.
Comment montrer que pour tout x<0 : Arctanx < x/x²+1
J'ai essayé la dérivée mais je tombe sur une expression où il est pas possible de savoir le signe.

Merci =)

Salut,

Avec ce devoir, tu vas être incollable sur la fonction Arctan

Si je considère la fonction f(x)=Arctan(x)-(x/(1+x²))

Après calculs, j'arrive à
f'(x)=(2x²)/(1+x²)² dont il est pourtant simple de voir son signe (vérifie ton calcul de dérivée).
Si tu veux que je détaille, dis-moi le.

Je pense qu'on peut aussi montrer l'inégalité en utilisant le théorème des accroissements finis ou l'inégalité des accroissements finis (je ne sais pas si tu les as vus).

@+