Bonsoir à tous
je n'ai pas du tout assimiler les recurences et j'ai plusieurs exo a faire :s
N'ayant pas d'exemples concrets pourriez vous m'aider à en faire un afin de pouvoir ensuite faire les autres
Merci d'avance
Il est vrai pour tout les entiers naturels que 2n(en facteur) supérieur ou égal(n+1)!

Merci d'avance

Tu dois d'abord écrire la proposition que tu as à démontrer, c'est-à-dire ici: P(n): "2^n >= (n+1)!"
Ensuite tu la vérifies au premier rang, ici puisqu'on te la demande pour tout N, tu la vérifies pour n=0 et on a bien 2^0 >= 1! car 1=1 donc ton initialisation est faite.
Maintenant le but de la démonstration par récurrence et de se servir de l'hypothèse de récurrence pour démontrer la formule au rang n+1. En fait la partie hérédité consiste à démontrer que si la formule est vraie à un rang n, elle l'est aussi au rang n+1.
Donc ici ton hypothèse de récurrence c'est 2^n >= (n+1)!
Et tu vas chercher à partir de cette inégalité à obtenir 2^(n+1) >= (n+2)!
Si en te servant de l'hypothèse de récurrence qu'on note souvent HR tu arrives à démontrer la formule au rang n+1, alors ca voudra dire qu'à partir d'un certain rang la formule est toujours vraie. Or ca marche au rang 0 (initialisation) donc ca marchera pour tous les rangs possibles.

Bon j'imagine que ca te fera pas de mal si je fais la récurrence pour que tu vois ce qu'il se passe.
P(n): ""2^n >= (n+1)!" "
Initialisation: 2^0= 1 et 1! = 1 donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité: on suppose la propriété vraie à un rang n, montrons qu'elle l'est aussi au rang n+1:
D'après l'HR, on a 2^n >= (n+1)!
D'où (n+2) 2^n >= (n+2)! car (n+2) positif donc les inégalités ne changent pas.
D'où n2^n + 2^(n+1) >= (n+2)!
Et 2^(n+1) >= (n+2)! - n2^n >= (n+2)!
On a donc bien 2^(n+1) >= (n+2)! ce qui démontre l'hérédité.

Nous avons donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel N, 2^n >= (n+1)!

En espérant ne m'être pas trompé et avoir été clair :p

Oulah j'ai écrit une connerie et j'ai démontré le contraire mais justement ta propriété est fausse faut dire :/