Salut a tous,
j'ai un peu de problèmes avec la notion de continuité..
prenons l'exemple de la fonction racine carrée:
Elle est continue sur (0;+00(
or, si une fonction est continue sur I, c'est qu'elle continue en tout point de I,
prenons ici un point de I qui est 0
une autre règle nous dit que f est continue en a si lim x --> a- = lim x --> a+ = f (a)
Prenons a = 0, on voit tout de suite que lim x --> a- n'existe pas, et que lim x --> a+ = 0
donc lim x --> a- =/= lim x --> a +

..

Je sais que je me trompe quelque part car f est bien continue en 0, mais je ne vois pas l'erreur dans mon raisonnement..
merci de bien vouloir m'eclaircir

La vraie définition de la continuité c'est :
f continue en a ssi pour tout epsilon > 0, il existe un alpha tel que quelque soit x € Df, |x-a|<alpha => |f(x)-f(a)| < epsilon

Ce qui veut dire qu'on ne considère que la limite pour des x appartenant à l'ensemble de définition de f.

Dans ton exemple, le problème est qu'on ne peut pas faire tendre x vers 0 tout en étant inférieur à 0 car cela nous fait sortir du domaine de définition.

Voilà, c'est pas que la limite n'existe pas, c'est que ça n'a pas de sens de l'envisager.

1. Pafnouti Voir le profil de Pafnouti Citer Ignorer Pafnouti
2. Posté le 3 octobre 2009 à 20:47:27 Avertir un administrateur
3. La vraie définition de la continuité c'est :

f continue en a ssi pour tout epsilon > 0, il existe un alpha tel que quelque soit x € Df, |x-a|<alpha => |f(x)-f(a)| < epsilon

Ce qui est rigoureusement équivalent à dire que lim x->a f(x) = f(a).
Il n'y a pas de "vraie" définition, juste des définitions équivalentes.

Ok je vois plus clair maintenant
Merci pour vos réponses rapides

Oui, mais dans le truc avec la limite, on ne voit pas que x il doit appartenir à l'ensemble de définition de f.

(Sauf si on écrit lim x->a, x € Df, f(x) = f(a).)

Et aussi cette définition avec les quantifieurs est un peu un standard, car avant (genre au 17-18e siècle), il n'y avait pas de définition exacte comme celle là, ce qui conduisait parfois à des erreurs.

"lim x->a, x € Df, f(x) = f(a)"

Je ne l'ai jamais vu écrit comme ça. =/
Dans le cas où a n'est pas un point intérieur à l'ensemble de définition la limite de f en a est tout simplement la limite à gauche ou à droite.
Mais c'est vrai qu'avec les quantificateurs tout est clair. Sinon si on veut une définition plus générale, c'est f est continue si l'image réciproque d'un ouvert de l'ensemble d'arrivée est un ouvert de l'ensemble de départ.

Ben parce que pour des fonctions on l'écrit jamais comme ça (car c'est un peu évident), mais dans un E un Env, c'est (peut être, j'ai vu ça y a pas longtemps ) courant de faire des limites selon une partie A de E.

Et sinon pour le truc avec l'ouvert, c'est pas la continuité en un point, ce qui nous intéresse là.

• E un Evn.

Non mais pour la continuité en un point on peut aussi l'écrire en terme de voisinages, ce qui généralise les |x-a|<alpha et |f(x)-f(a)|<epsilon.

Oui tu as raison, on peut écrire des limites suivant une partie, mais pour des fonctions de R dans R...

Ben R est un evn et Df est une partie de R.

Après c'est sûr qu'il y a pas trop d'ambiguïté là, même si des fois on fait la limite en a+ ou en a-, qui est une limite selon Df Inter ]a; +oo[ ou Df Inter ]-oo; a[.

Oui voilà, mais on écrit tout simplement lim x-> a+ . Enfin bref, il a eu sa réponse je crois.