Salut à tous.
Mon professeur de Mathématiques nous a proposé un exercice supplémentaire sur les dérivées. Il s'agit de trouver la dérivée n-ième des fonctions suivantes :
f(x) = (1+x)^p où p est un entier non nul
g(x) = 1/x
h(x)= V(x-1)

Afin de résoudre cet exercice, j'ai pensé à utiliser la récurrence.
Mais j'ai un petit soucis concernant la rédaction. En effet, pour exprimer une dérivée, on utilise la notation f'(x), pour la dérivée seconde, f''(x). Comment dois-je m'y prendre afin d'exprimer la dérivée n-ième ? f^n(x) ?

Et le principal, faut-il passer par la récurrence ou par une autre méthode?

Merci d'avance pour vos réponses.

f^(n) (x)

Tu fais trois ou quatre dérivées pour voir comment ça se comporte puis tu fais ta conjecture et tu la prouves.

Par la récurrence ça devrait aller je pense. Exprime tes fonction avec une puissance (pour h: V(x-1) = (x-1)^(1/2) ), ça devrait aller plus vite aussi.
'va falloir utiliser (u^n)'=nu'u^(n-1)

Et la dérivée n-ième se note f^(n) ( f exposant n entre parenthèse)

J'suis parti sur g(x)= 1/x = x^-1

g^(1) = -x^-2
g^(2) = 2x^-3
g ^(3) = -6x^-4

J'vois clairement ce qu'il se passe, mais j'ai du mal à intégrer le n là dedans.

Pense au factoriel.

Je remarque déjà un truc, c'est que :

g^(n) = ...^-n-1

J'ai plus de mal pour trouver une expression pour le coefficient devant x. Est-ce là que je dois utiliser la factorielle?

Oui.
Tu vois ce que c'est que la factorielle d'un nombre?

n! = n(n-1)(n-2)... x1

J'tourne autour de ce genre d'expressions depuis que je recherche une expression pour le coefficient, mais je ne suis pas encore parvenu à atteindre l'expression exacte!

2=1*2
6=1*2*3

Il te faut aussi quelque chose qui vaut 1 puis -1 puis 1 puis - 1...

'faut procéder par étape: comment exprimer le coefficient en fonction de n (enfin sa valeur absolue), puis comment exprimer le signe du coefficient en fonction de n?

g(n) = ..x^-n-1
g(n+1) = ..x^-n-1-1

Je vois aussi que la valeur absolue du coefficient de g(n+1) équivaut au produit de (-n-1) et du coefficient de g(n).

Le signe change une fois sur deux, donc y a un -1^n qui entre en jeu. J'vais tester ça sur mes premières valeurs.

(-1)^n plutôt, les parenthèses sont importantes.
Je n'ai par contre pas trop compris ce que tu dis au début, pour le coefficient. Encore une fois, pense au factorielle d'un nombre.

Par coefficient, j'entends ce qui est avant x.
Par exemple :
g^(2) = 2x^-3
g ^(3) = -6x^-4

2x(-3) = -6

Mais vu que y a changement de signe faut prendre la valeur absolue.

Comme je l'ai déjà dit, je tourne autour de la factorielle depuis que je cherche ce coefficient. Je suis proche de la réponse j'en suis sûr, mais il me faut trouver la clé!

Cherche peut être la dérivée 4ème pour te mettre encore plus sur la piste.

J'arrête pour ce soir, tant pis.
Peut-être aurai-je l'illumination durant mon sommeil.

Si tu as trouvé qu'il fallait mettre (-1)^n pour le signe tu as tout trouvé.

g^(1) = -x^-2
g^(2) = 2x^-3
g ^(3) = -6x^-4
g^(4)= 24x^-5
g^(5)= -120x^-6

Tu regardes ça, puis le début de la liste des factorielles:
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
...

g(n) = [n!(-1)^n]x^-n-1

Moi je partais sur une multiplication des termes précédents pour trouver le coefficient.

Merci de ton aide!

De rien.