,

Je bloque sur un exercice à faire avec comme objet d'étude, le rectangle d'or :

"On appelle forme d'un rectangle le rapport L/l, noté F, où L et l représentent une mesure de sa longueur et de sa largeur.

1. Quelle est la forme d'un carré ?

Je dirais que par définition un carré c'est un rectangle où L = l, donc sa forme est F = L/L.

2. On appelle rectangle d'or tout rectangle (A,B,C,D) de forme F1, tel que si l'on lui ajoute un carré construir sur sa longueur on obtient un nouveau rectangle de même forme.

a/ Montrer que F1 est solution de l'équation x² - x - 1 =0
b/ Déterminer le nombre réels b tel que pour tout nombre réel x : x² - x - 1 = (x - 1/2)² + b

J'ai trouver b = - 5/4

c/ En déduire les solutions réelles de l'équation x² - x - 1 = 0

d/ En déduire la valeur de F1 pour un rectangle d'or."

Voilà j'ai seulement réussi à faire ça, le problème étant que je bloque totalement sur les autres, même si la c/ je pourrais y arriver en résolvant l'équation de 2nd degré mais je n'est pas le droit, soit disant que je ne suis pas sensé l'avoir vu à mon niveau.

Merci de bien vouloir m'aider pour finir cet exercice

c/ Avec la b/ tu trouves quelque chose de la forme a² - b², que tu peux factoriser et te permet alors de résoudre l'équation.

Je ne comprend pas ce que tu veux dire, voici ce que j'ai mis en b/ :

x² - x - 1 = (x - 1/2)² + b
<=> x² - x - 1 = x² - x + 1/4 + b
<=> x² - x - 1 - x² + x - 1/4 = b
<=> -5/4 = b

Je ne vois pas là dedans l'identité remarquable ? :/

x² - x - 1 = (x - 1/2)² - 5/4
A droite il y a une identité remarquable.

Oui, (x - 1/2)² ?

Non, de la forme a² - b².

(x - 1/2 + 1) (x - 1/2 - 1) - 1/4 = 0

Je ne trouve que ça mais pareil ça me bloque :/

Non, ce n'est pas ça.
(x - 1/2)² - 5/4 = (x - 1/2)² - (V5/2)² (avec V5 = racine de 5)
Ça doit être plus clair comme ça.

Ah oui, effectivement ><
Merci à toi, j'ai vraiment du mal à repérer ce genre de chose, et ça me cause toujours défaut en contrôle :/

Aussi ce que je n'avais pas compris, c'est ce qui concernait F1 ? Si L/L est bien la forme d'un carré, F1 = L/l + L/L ? Dans ce cas là je ne trouve pas comment faire un rapport entre ça et l'équation donné en a/. Je suppose qu'une fois la a/ résolu, la d/ devient évidente (vu que j'ai les deux valeurs possible de F1)

"a/ Montrer que F1 est solution de l'équation x² - x - 1 =0"
Donc F1 est une des solutions de l'équation (solutions que tu as trouvé en c/).
Pour t'aider à trouver laquelle : F1 est un rapport de 2 longueurs, donc est forcément positive.

Oui c'est vrai qu'il suffit de dire que V5 > 1 donc 1 - V5 < 0, or F1 est positif etc..

Mais ce que je ne comprends réellement pas c'est surtout comment prouver que F1 est bien une solution de l'équation x² - x - 1 = 0 et pas une autre.

Tu as réussi à faire la a/ ? Parce que vu ce que tu demandes, j'ai un doute.

Non, c'est bien ce que je demande à éclaircir =D

OK.
Ton rectangle a pour forme x = L/l.
Maintenant on rajoute un carré basé sur la longueur du rectangle, on obtient alors un rectangle de largeur L et de longueur L + l, qui a donc pour forme F = (L + l)/L = L/L + l/L = 1 + 1/x.
D'après l'énoncé, ce rectangle a la même forme que le premier, donc F = x, soit 1 + 1/x = x.
En passant tout du même côté, on obtient : x - 1 - 1/x = 0.
En multipliant par x on obtient alors l'équation recherchée : x² - x - 1 = 0.

Je ne sais pas si j'ai été bien clair.

Hmm, ce que je n'ai pas compris c'est pourquoi on a pas un rectangle de forme L/(l+l), vu que le carré est basé sur la longueur (l d'après l'énoncé) ?

Voilà un dessin pour comprendre comment est construit le 2ème rectangle : http://www.mathovore.fr/maths-histoire/images/nombre-d-or-definition.jpg
x et y correspondent respectivement à l et L pour nous.

Ah oui, je vois mieux merci beaucoup de ton aide