Salut.

Voilà j'ai quelques questions sur la dérivée et ce qui va avec, car mon prof a traité ça dans le cours en 2 secondes.

1)D'abord l'an dernier je n'ai jamais entendu parler de "taux d'acroissement". Pourriez vous me détailler un peu ce que c'est?

2)Ensuite j'arrive à l'essentiel. Voilà on a dit que f'(x)= lim (f(a+h)-f(a))/h quand h tend vers 0. Bon ça ok mais de là le prof a dit que cela pouvait s'écrire:
f'(x)+ E(h)= (f(a+h)-f(a))/h avec lim E(h)=0 quand h->0

Et ça je vois pas du tout pourquoi on peut faire disparaitre le fait que h doit tendre vers 0 à droite simplement en rajoutant le "+E(h)". Donc si vous pouviez m'expliquer ça aussi...

3) Enfin de l'égalité ci-dessus on est arrivé en posant E(h)=dx et f(a+h)-f(a)= dy à dire que f'(x)= dy/dx Et apparement on appelle ça "écriture différentielle"

Euh là pareil je capte pas, c'est exactement égal à la dérivée ou bien c'est une approximation?

Voilà j'espère que vous aurez un peu de temps pour m'aider, merci beaucoup.

1 Le taux d'accroissement c'est tout simplement (f(x)-f(a))/(x-a). T'as du voir ça rapidement en physique je pense.

2) En fait c'est l'approximation affine ça.
En fait je asis pas trop pourquoi il te donne cette formule comme ça, moi je l'ai toujours utilisée comme ça :
f(a+h)=f(a)+h.f'(a)+h.E(h)
En fais le E(h) c'est l'erreur, et plus le h est petit plus l'écart est différent. C'est comme ça que les calculatrices font pour tracer les courbes si je me souviens bien^^ enfin dans ma formule tu fais basuler le f(a) et le h et tu as la même que la tienne hein ;)

3) dx, dy, dt, dz... c'est la façon d'écrire tout simplement, en physique pour la l'accélération tu écriras "dv/dt" mais ne panique pas ça veut tout simplement dire la dérivée de la vitesse par rapport au temps, c'est juste typographique.

Merci pour cette réponse rapide.

1) Je ne me rappelle pas vraiment de ça. Mais qu'est ce que ça représente exactement un taux d'acroissement à part le coef directeur de la droite qui relie les 2 points considérés? Pourquoi on appelle ça "taux d'accroissement" d'ailleurs?

2) En fait si je comprends bien le E(h) c'est l'erreur par rapport à l'approximation affine de f(x)?

3) Ok je vois mais dans la démonstration on a posé dy= f(a+h) - f(a) et dx=h
Du coup quand on dit f '(x)= dy/dx c'est comme si on disait f '(a+h)= (f(a+h)-f(a))/h
Mais ça c'est le taux d'accroissement non? Comment ça peut être la dérivée? Bref j'ai du rater quelque chose...

Encore merci

Je ne me rappelle pas vraiment de ça. Mais qu'est ce que ça représente exactement un taux d'acroissement à part le coef directeur de la droite qui relie les 2 points considérés?

Rien de plus. C'est la définition de la dérivée, c'est le coefficient directeur de la droite qui relie deux points infiniment proches l'un de l'autre. C'est pour ça que h tend vers 0, h est "l'écart" entre les deux points.
Et on appelle ça le "taux d'accroissement" parce que ça mesure la "vitesse" à laquelle la courbe "monte". Une droite qui a un coefficient directeur de 4 "monte plus vite" qu'une droite qui a un coefficient directeur de 2.
Pour une courbe, c'est exactement pareil, sauf que le taux d'accroissement est différent en chaque point de la courbe. C'est pour ça qu'il faut prendre deux points très proches l'un de l'autre.

2) En fait si je comprends bien le E(h) c'est l'erreur par rapport à l'approximation affine de f(x)?

Si tu regardes bien l'équation, tu vois que l'erreur c'est en fait h.E(h). Mais bon t'as compris, en gros c'est la valeur qu'on néglige car elle tend vers 0...

Pour l'approximation affine, je vais te faire la démo que ma prof avait faite l'an dernier (j'ai mis du temps à la retrouver )

f'(a) = lim(h->0) de (f(a+h)-f(a))/h

Quand on a h proche de 0, le taux d'accroissement (f(a+h)-f(a))/h est proche de f'(a).

Donc (f(a+h)-f(a))/h - f'(a) est proche de 0.
C'est la valeur (f(a+h)-f(a))/h - f'(a) qu'on appelle E(h).
Quand h tend vers 0, on a donc E(h) qui tend vers 0.

E(h) = (f(a+h)-f(a))/h - f'(a)
f'(a) + E(h) = (f(a+h)-f(a))/h
hf'(a) + hE(h) = f(a+h)-f(a)
f(a) + hf'(a) + hE(h) = f(a+h)
f(a+h) = f(a) + hf'(a) + hE(h)

Quand h tend vers 0, E(h) tend aussi vers 0 donc pour h proche de 0 on peut écrire :
f(a+h) = f(a) + hf'(a)

Un exemple pour te montrer à quoi ça sert :

Soit f(x) = x²
f(2,001)
= f(2 + 0,001)
= f(2) + 0,001*f'(2)
= 2² + 0,001 * 4
= 4,004

En réalité, ça fait 4,004001 donc on voit bien que l'approximation donne une erreur très faible, et c'est quand même plus simple que de calculer 2,001² (en encore là c'est une fonction toute simple...)

Bizarre de faire ça en TS, normalement on voit plutôt ça en maths sup. En bien plus approfondi, certes.

Perso j'ai vu ça en première, il me semble que ça fait partie du programme...
Et puis bon en pratique on demande même pas de connaître ni de comprendre la démonstration, la seule chose qu'il faut savoir c'est f(a+h) = f(a) + h.f'(a) et savoir l'utiliser avec des fonctions simples

Non l'histoire du taux d'accroissement et compagnie je suis d'accord, on voit ça en première.

Mais les écritures différentielles et le développement qui ressemble clairement au développement de Taylor, j'ai pas vu ça au lycée moi. (enfin si, un TD de une heure à l'arrache quoi).

L'écriture différentielle c'est vrai que j'ai jamais étudié ça, du moins pas en maths. Mais je trouve ça bien justement d'introduire ça, parce que depuis la fin de première et là en début de terminale, on en voit partout en cours de méca notamment et on l'a vu en physique-chimie aussi au début de l'année. Et vu qu'on a jamais vu cette notation en maths, il y a pas mal de gens qui sont perdus dès qu'ils voient un "dx/dt" ou autre, ils se posent des questions qui ont pas lieu d'être genre "à quoi est égal d", alors qu'avec une petite explication en cours de maths dédiée à cette notation, il y aurait aucun problème

Merci bien FitzChevalerie c'est beaucoup plus clair. (et merci d'avoir ressorti ta démo aussi)
J'aurais juste besoin de quelques précisions pour être sûr que j'ai bien compris:

"Donc (f(a+h)-f(a))/h - f'(a) est proche de 0.
C'est la valeur (f(a+h)-f(a))/h - f'(a) qu'on appelle E(h).
Quand h tend vers 0, on a donc E(h) qui tend vers 0.

E(h) = (f(a+h)-f(a))/h - f'(a) "

L'égalité juste au dessus, tu peux l'écrire pour tout h qui serait l'écart entre a et l'autre point (aussi grand soit cet écart), ou bien c'est seulement dans le cas où h tend vers 0?

Comme aucune limite n'apparait dans l'égalité je penchais plutot pour la première solution mais j'ai des doutes...

Après j'avoue que pour l'écriture différentielle j'ai toujours pas compris. Quand on dit f '(x)= dy/dx on ne commet aucune erreur?
Parce que si on remplace ça donne f '(a+h)= (f(a+h)-f(a))/h et du coup cette chose elle est vraie que pour h->0 non?

Encore merci

Pour l'écriture différentielle je vais te donner ce que j'ai dans mon cours, sur le coup ça m'avait paru clair. Par conte j'ai la flemme de tout lire, alor désolé si quelque chose n'est pas clair:

f est dérivable en a <=> Il existe A appartenant a IR et une fonction phi vérifiant limite de phi en 0 = 0 tels que: f(x+h)=f(x)+ Ah + h*phi(h) [Définition]
=>f(x+h)=f(x)+ f'(x)*h + h*phi(h) [C'est vrai pour tout A, donc c'est vrai pour f'(x)]
Donc f(x+h)-f(x)= h*f'(x)+ h*phi(h)

h représente en gros les variations de x, on va donc l'appeler comme on fait en physique Delta de x (que je vais noter Dx)
f(x+h)-f(x) représente de la même manière les variations de y=f(x), on note alors cette quantité Dy

On en déduit que Dy = Dx*f'(x) + Dx*phi(Dx) [On remplace simplement]

Quand h tend vers 0, et donc quand Dx tend vers 0, la quantité Dx*phi(Dx) tend vers 0 [ puisque limite de phi en 0 = 0]

A la limite on a donc Dy=Dx*f'(x).
Mais comme ce Dy et ce Dx ne sont pas vraiment les mêmes qu'au dessus puisque qu'il tende maintenant vers 0, on va remplacer ce Delta par un petit d:
dy=dx*f'(x)
d'où: f'x)= dy/dx

Je ne sais pas si j'ai été clair ni même si c'était ce que tu demandais, mais bon...

Ok merci pour ta réponse mais j'avoue que c'est toujours pas clair... L'écriture f '(x)= dy/dx on y aboutit en considérant que h->0? Donc on supprime tout ce qui tend vers 0 et on aboutit à ça?
Ca voudrait dire si j'ai bien suivi la démo que "dy" et "dx" avec le d minuscule ça désigne une variation de points très proches l'un de l'autre, une variation d'images au dessus et une variation d'abscisses en dessous.

Parce que si ce n'est pas le cas, j'ai pas l'impression que ce soit vraiment f '(x) mais plutot une valeur approchée.

Masarike En fait, je vais prendre un exemple concret que tu vas voir en cours pour t'expliquer ça va être plus simple^^ :
La vitesse moyennes c'est Delta x/Delta t, en gros tu divises la distance parcourue en un temps donné pour avoir une vitesse moyenne.
Et bien pour avoir la vitesse instantanée, c'est a dire la vitesse au point A, au point D etc, tu vas prendre dx/dt, c'est a dire que la variation de temps est tellement petite qu'elle tend vers 0 pratiquement^^.
La formule que tu as avec dy et dx se note en fait df~f'(x)dx (le ~c'est ma façon d'écrire environ) et donc c'est une approximation, MAIS dans la pratique on considère que c'est strictement égale, donc on notera la dérivée de f : df/dx.
Voila^^

Ah ok merci mais donc quand on dit dy/dx= f '(x) c'est quand on considère que tout tend vers 0 et du coup on obtient effectivement la dérivée? Ou bien c'est JUSTE une notation et dans ce cas là pourquoi tout ce truc avec les démonstrations et tout?
Désolé si je persiste dans l'incompréhension mais là ça me dépasse un peu... (bon j'arrive au moins à comprendre les applications physiques de la dérivée c'est déjà ça)

Je pense qu'à ton niveau tu peux considérer que c'est juste une notation qui permet de simplifier pas mal de choses en physique. La notion de différentielle d'une fonction n'est pas au programme de terminale et je trouve que le coup de remplacer le E(h) par dx ça embrouille plus qu'autre chose...
Par contre il faut bien comprendre l'équivalence entre limite du taux d'accroissement et l'écriture f(a+h) = f(a) + f'(a)h + E(h), ça c'est important.

+hE(h) *

Ok d'accord bah merci à tous.

En fait il y a un truc tout simple pour comprendre POURQUOI cette notation, même si c'est moins rigoureux que les démos au-dessus.

Le taux de variation entre deux points d'une courbe d'abscisses a et x, c'est à dire le coefficient directeur de la droite qui relie ces deux points, est :
[f(x)-f(a)] / (x-a)

En fait, f(x)-f(a) est la variation des ordonnées, qu'on va noter "delta y", Dy.
De même, x-a est la variation des abscisses, "delta x", Dx.
Le coefficient directeur de la droite reliant les deux points est donc Dy/Dx.

La dérivée, c'est le coefficient directeur de la tangente en UN point.
On va donc utiliser la même formule, avec deux points infiniment proches l'un de l'autre. C'est là qu'intervient la notion de limite, quand x tend vers a, la variation de x et la variation de y tendent toutes deux vers 0. Pour garder en tête que ce sont des variations très petites, on écrit un petit d au lieu du "delta" : dx et dy.
Le "coefficient directeur" de la courbe en un point s'appelle la dérivée, mais c'est la même formule :
f'(x) = dy/dx. C'est bel et bien la dérivée, il n'y a pas d'approximation.
En fait, la notion de limite est toujours présente, dans la notation avec le petit "d" qui suppose que c'est une variation infiniment petite de x et de y.

Pour te donner un exemple concret, si en physique par exemple tu as une courbe qui exprime la distance parcourue par un objet par rapport au temps. Tu as donc la courbe x=f(t).
Si tu prends la dérivée, la notation f'(t) ne serait pas très claire. On préfère la notation dx/dt qui est plus parlante : C'est une variation de distance divisée par une variation de temps. Une distance divisée par un temps, c'est une vitesse.
En dérivant la fonction x=f(t), tu obtiens donc la vitesse instantanée, alors qu'avec les formules usuelles tu ne peux calculer que des vitesses moyennes sur une durée déterminée.

Merci beaucoup FitzChevalerie pour cette super explication, tout est clair maintenant. Ce n'est plus si ambigüe quand c'est expliqué aussi clairement =)

Encore merci!