Je mettrais plutôt (rédaction vraiment complète, on peut abréger certains passages évidents) :
ABC est isocèle, donc AB = AC. D est le symétrique de B par rapport à A, donc AD = AB.
Comme AB = AC = AD, on peut dire que A est le centre du cercle circonscrit à BCD.
De plus A est le milieu de [BD].
Or on sait qu'un triangle dont le centre du cercle circonscrit est le milieu d'un côté est rectangle, on en déduit donc que BCD est un triangle rectangle.
Je pense que c'est la méthode la plus simple.