Salut ^^

Voilà, je commence à peine à voir les nombres complexes et j'ai un dm de malade. Oo

Trouver les nombres réels x et y, tels que

(x+iy)^4 soit strictement plus grand que 16

J'ai compris que je devais passer le 16 de l'autre côté et faire le binome conjugué, mais après ?

Inéquation complexe ?

ben le i c'est complexe
et
(x+iy)^4 > 16
c'est une inéquation...

Moi j'aurais simplement pris deux fois la racine carrée de chaque membre, parce qu'ils ont pas mis une puissance 4 parfaite comme 16 à droite pour rien...

non mais je comprends pas trop ce que tu dis là. tu veux dire que je peux simplifier en

(x+iy) > 2 ?

Ben une inéquation n'a pas de sens dans l'ensemble des complexes à mon avis, ils ne sont pas plus petits ou plus grands les uns que les autres...

(x+iy)^4 n'est pas toujours réel... Donc pas comparable avec 16.

Voit d'abord les conditions sur x et y pour que (x+iy)^4 soit réel

Et qu'elles sont-elles ces conditions ? j'ai pour ainsi dire que vu l'addition et la multiplication des complexes.

Je n'ai pas fait d'exos de ce type, mais à mon avis développe le (x+iy)^4, puis l'écris sous la forme algébrique et la condition c'est que Im(z) = 0.

Qu'est-ce que lm ?

Désolé d'être aussi mauvais, mais c'est un truc assez hard je trouve. Les autres exos passent sans problème.

(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a²b² + 4ab^3 + b^4, si ça peux t'intéresser.

Im(z) c'est la partie imaginaire de z, tout ce qui sera exprimé avec i

Ah d'accord c'est le b de z = a+ib

Ok je commence à voir comment faire pour poser la condition.

Mais une fois celle-ci posée, comment résoudre l'inéquation qui a deux inconnues ?

Avec deux inconnues, il te faut un système de deux équations :
La première est la condition Im(z) = 0 ; La seconde est l'inéquation.

J'essaie de le résoudre là, mais ça m'a l'air assez compliqué

Ah mais d'accord, y doit valoir 0 pour que l'inéquation ait un sens. Donc il reste

x^4 > 16

Et donc x doit être > 2 ou
< -2
Et y vaut 0

j'ai juste ?

Ah non en fait t'as pas besoin du système, une fois que t'auras la condition t'as juste deux cas à étudier.

C'est un couple possible, mais il y en a deux.

Ah ?

Là je vois pas trop.

(x+iy)^4
= x^4 + 4ix^3y - 6x²y² + 4ixy^3 + y^4
= (x^4 + y^4 - 6x²y²) + i[4(x^3y + xy^3)]

Tu reconnais ici l'écriture algébrique du type a+bi. Pour que l'inéquation ait un sens, il te faut b=0, c'est à dire :
4(x^3y + xy^3) = 0
4xy(x²+y²) = 0
x=0 ou y=0

Ensuite tu résous l'inéquation en prenant x=0 et puis prenant y=0.

Ah mais oui bien sur;

Many thanks ^^

Tu m'as sauvé.