Bonjour,

Matière / Niveau: Terminale S

Bonsoir .
Voila ma prof nous a donner un dm sur la récurrence et j'ai encore un peu de mal avec sa, Voici l'enoncé :

Pour démontrer que, pour tout n appartient a N*
1²+2²+...+n² < ou égale n^3

1. Retrouver la démonstration de Max .
2. Expliquer le commentaire du professeur :
" Correct, mais bien maladroit ! "

Voila
Pouvez-vous me dire par ou commencer ?

Comme pour toute récurrence : commence par l'initialisation, puis passe à l'hérédité.

Vérifies en premier lieu que la propriété est vrai pour n=0.

Ensuite, il faut démontrer que si elle est vraie au rang n alors elle l'est au rang n+1.
Ici, tu dois donc démontrer que si 1²+2²+...+n² < n^3 alors 1²+2²+...+n²+(n+1)² < (n+1)^3 . ( il faut simplement remplacer les n par n+1).

Demande à Max.

Pas besoin de récurrence, enfin, ça dépend du point de vue selon lequel on se place :
En partant de la fin : n² <= n² ( logique)
(n-1)² <= n²
.
.
.
1<= n²
En gros, tu majores tout les termes par n², t'as n termes, donc l'ensemble est <= n * n² = n^3 =)
Si tu veux vraiment le faire par récurrence, tu peux :
Rang 1 : 1 <= 1
Hyp : on suppose la propriété établie au rang n
Rang n+1 : 1²+2²+......n²+(n+1)² <= n^3 + (n+1)² ( d'apres l'hyp)
<= n^3 + n² + 2n + 1 <= (n+1)^3 ( qui est égal à n^3 +3n^2 +3n +1)
Fin
2) Pourquoi est-ce maladroit? aucune idée si tu ne nous donnes pas la démonstration de Max^^

Je n'ai pas encore vue tout ce qui tuoche a la " majoration"
Mais merci vous m'avez bien aidée . Je vais finir le reste !

mehdi_b C'est un DM sur la récurrence, c'est pour ça qu'on suppose que Max a fait une récurrence. En fait tu viens surtout de répondre à la question 2) je pense.

mehdi_b

Je vois pas comment le fait de majorer un à un les termes te permet de majorer la somme

Un exemple tout simple :
2 < 3 et 3 < 4 donc 2 + 3 < 3 + 4
n étant un entier naturel, ça marche =)